数学课程中“有”与“无”的对立统一

【摘 要】对于除法运算中整除的情况，也就是余数为0的情况，应当视为是“有余数”还是“没有余数”，对于这一问题一直存在不同意见，类似的问题在运算以及几何图形的认识等方面都存在。其中蕴含着的是辩证法中对立统一的思想，也即任何事物的存在，都伴随着其对立一方的存在，对立的双方在一定条件下可以相互转化。数学教学应当让学生通过学习活动，感悟这样的思想。

【关键词】数学思想 对立统一 数学课程

在一份小学数学试卷中，有这样一个试题：

一个有余数的除法算式中，除数是5，余数最大可能是几？余数有几种可能？

此试题考查的知识点显然是“余数要比除数小”，因此对于“余数最大可能是几”的问题，其答案自然应当为4。但对于“余数有几种可能”的问题，一些教师的意见存在分歧。

分歧的焦点在于，除了余数可能是“1，2，3，4”之外，对于整除的情况，应当看作是“没有余数”还是“有余数”？换句话说，余数为0的情况应当看作是“有余数”还是“无余数”？

一、没有余数与余数为0

如果从日常生活经验来看，比如6个苹果平均分给2个小朋友，每人分得3个苹果，此时通常就叫作“分完”了，或者叫作“无剩余”。如果是7个苹果平均分给2个小朋友，就是每人分得3个，剩下1个，此时就叫作“没有分完”，或者叫作“有剩余”。这样就形成了“有余数”和“无余数”的两种情况，这两种情况表现出“有”与“无”的关系，是截然相反、相互对立的关系。

用数学的语言说，在正整数范围内研究除法，自然会出现“整除”和“不整除”两种情况。用字母a表示被除数，字母b表示除数，如果数a能够被数b整除，那么这个除法算式就可以写为如下的算式1：

算式1：[a÷b=q]

其中的字母q表示除法的结果，也叫作商①。如果这样的除法不能整除，除法运算的结果就会出现余数，如果用字母r表示这个余数②，那么这个算式就要写为如下的算式2：

算式2：[a÷b=q……r]

由于“余数要比除数小”的要求，其中余数r的取值可以是“1，2，……b-1”，一共有b-1种可能性。从形式上看，整除的算式1中没有余数“r”，不能整除的算式2中有余数“r”。由此看出，整除的除法和有余数除法从算式上看也表现出“有”与“无”的差异，是一种对立的关系。

而数学家思考问题常常会运用辩证法的思维方式，认为对立的双方在一定的条件下是可以相互转化的。因此就会创造条件将处于对立状态的对象纳入到同一个系统之中，使之成为同一个系统中的不同状态，这种思维方式通常叫作“使之一致（Unifying）”。

运用“使之一致”的思维方式，就可以转变对“没有余数”的看法，把“无”看作“有”，也就是把“无余数”看作是“有余数，且余数为0”。这样“无余数”的情况就与“有余数”的情况取得一致，统一到一个系统中了。前面的算式1和算式2就可以统一为算式3：

算式3：[a÷b=q……r]

只需要认为其中的余数r可以是0，把“没有余数”看作是“余数为0”，余数“r”的取值范围从“1，2，……b-1”的b-1种可能，扩大为“0，1，2，……b-1”的b种可能。其中的余数r为0时就是前面的算式1，r不等于0时就是算式2的情况。这样就将截然不同、对立关系的两种除法算式，统一为一个算式了。这个算式在数论中通常叫作“帶余除法定理”，常常写为乘法的形式：

算式4：[a=bq+r， 0≤r

虽然叫作“带余除法定理”，但其中是包含“r=0”，也就是整除的情况，此时把余数为0认为是有余数的。因此前面试题中，如果把余数为0认为是“无余数”，那么答案就是4种可能；如果把余数为0认为是有余数，那么答案自然就是5种可能了。

类似的例子还有，对于“2[÷]5”，如果在整数范围内，这个算式是没有意义的，就像把2个苹果平均分给5个人，这个分的过程是无法实现的。但是在数学中，仍然认为这个算式是有意义的，也就是认为除法的结果商为0，余数等于被除数2。写为：

2[÷]5=0……2

在教学或者考试中，对于这种具有人为规定意义的内容，重要的是理解规定的道理，感悟其中蕴含的思想，而不是结论本身的对错。

二、如何理解运算中的“无”

小学数学课程中，乘法运算的意思是“相同加数求和”，就是说至少应当是两个或者两个以上的相同加数相加，才会出现乘法运算。比如“[3×2]”，可以看作是2个3相加，即“3+3”，也可以看作是3个2相加，即“2+2+2”。

按照这样的理解，乘法算式“[1×1]”以及“[0×0]”等算式是没有意义的，因为“相同加数相加”的过程根本没有发生，对应的“相同加数求和”的加法算式也无法写出。因此如何理解诸如“[1×1=1]”以及“[0×0=0]”等没有乘法意义的乘法算式，就成为数学教学需要研究的问题。事实上，这些算式的结果都是数学家做出的人为规定，有关乘法运算这样的规定可以概括为如下两条：

l规定1：1乘任何数的结果还是这个数。

l规定2：0乘任何数的结果都是0。

任何人为规定通常有两个方面的来源，其一是符合人的直觉，其二是符合相应的规律或规则。比如，为什么规定“1乘任何数的结果还得这个数”？比如“[2×1]”，除了直觉上表示“1个2”或者“2个1”相加，结果应当等于2，更重要的原因是要符合运算律，比如可以把数字1看作是“4-3”的结果，那么就可以运用分配律对“[2×1]”进行如下计算：

其结果等于2，说明规定“[2×1]=2”不仅符合直觉，也不违背乘法对加、减法的分配律。

对于“0乘任何数的结果都是0”的规定，也有类似的原因，比如可以把0看作是“3-3”的结果，也运用分配律对“[2×0]”进行计算：

这就说明规定“[2×0]=0”不仅与“2个0相加等于0”的直觉相符，同时与分配律也不矛盾。正是这样的规定，将“无乘法”与“乘法”变得一致，实现了“无”与“有”的统一。

在初中数学课程中，表示相同因数相乘的指数与幂的运算中，也有类似情况。比如3个4相乘“[4×4×4]”，可以表示为幂的形式“[43]”，其中的“4”叫作幂的底，“3”叫作指数。在这里就出现了如何理解“[41]”和“[40]”的问题。这两种情况都没有发生“相同因数相乘”的过程，因此就需要规定相应的取值。

如果规定“[41=4]”，直觉上比较容易理解。但是如何规定“[40]”的取值，从直觉上就很难看出来。因此就需要运用“同底数幂相除，指数相减”的运算律进行计算，可以把指数“0”看作是“2-2”的结果：

[40=42-2 =4242 =1]

鉴于运用运算律计算结果等于1，因此就需要规定“[40=1]”，更一般的规定就是“[a0=1，a≠0]”。

在高中数学课程中，有一个与运算相关的概念叫作“阶乘”，表达的是一个自然数依次连续向下乘每一个自然数，比如3的阶乘等于“[3×2×1]”，用符号“3！”表示。按照这样的定义，那么“1！”和“0！”就成为特例，其中事实上的阶乘过程并没有发生。

如果规定“1！=1”是符合直觉的，也是与相应的运算规律不矛盾的。如果用n表示任意一个自然数，按照阶乘的定义，应当有如下的等式成立：

n！=n（n-1）！

在等式中让n=2，那么就得到：

2！=2[×]1！

由于等式左边的2！等于2，所以等式右边的1！就应当等于1。因此对于规定“1！=1”，直觉与运算规律都是相符合的。同样凭直觉看，“0！”的取值似乎应当是0。在前面等式中，如果n等于1，那么就得到：

1！=1[×]0！

由于等式左边1！等于1，因此等式右边0！不能等于0，而应当等于1。因此不得不违背直觉，规定“0！=1”。虽然这样的规定从直觉上难以接受，但按照与运算律无矛盾的原则，只能这样规定。有了这样的规定，就将没有发生阶乘运算的特例融入到阶乘运算的系统中了，实现了“无”与“有”的一致和统一。

三、點与线的对立统一

在几何图形的研究中，也经常需要这种对立统一的眼光。比如，平面上的三角形和梯形应当是完全不同的图形。如果改变一下思维方式，用运动的眼光看待梯形，那么三角形就可以与梯形统一到一个系统中。

所谓运动的眼光，是将作为四边形的梯形，看作是一条自下而上运动线段扫过的轨迹所形成的图形（见图1）。

图1中，运动的线段EF从AB位置运动到CD位置，留下的轨迹就形成了梯形ABCD。运动线段EF在运动过程中，其长度均匀地缩短，如果继续向上运动，直至其长度变为0，也就是线段EF变为了一个点，其轨迹就形成了一个三角形（见图2）。

点与线段原本是完全不同的几何图形，不仅从直观感受上看是截然不同的，从度量的角度看，线段是有长度的，而点是没有长度的。按照对立统一的思维方式，可以把“无长度”看作是“有长度，且长度为0”，那么点就可以认为是特殊的线段，因此也就可以将三角形看作是特殊的梯形，梯形面积公式“[a+b2h]”中的上底长度b为0，那么这一公式就转变为三角形面积公式“[a2h]”了。

在数学教学中让学生经历数学发生与发展的过程，体验数学课程内容中蕴含着的思想，历来是我国数学教育的传统。对立统一作为辩证法思想的重要内容，自然应当融入到数学学习活动的设计中去。让学生“在活动中经历过程，在过程中获得经验，在经验中感悟思想”。

参考文献：

[1]郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

（首都师范大学初等教育学院 100048）