分析函数思维在中学数学解题中的应用路径

【摘 要】笔者对函数思维的定义及基本特点进行分析，利用函数思维将中学数学题中的数学对象进行关系转化，并对中学数学中的某些数学例题以函数的方式进行解答，以此探索出函数思维在中学数学解题中的应用路径。

【关键词】函数思维；中学数学；数学解题；应用路径

从数学解题思维的角度上来看，其主要解题思维有抽象思维、函数思维、具体思维及直觉思维。其中函数思维在数学解题当中非常重要，它注重于对数学中的各个数学对象的联系和转化方式以函数的形式进行表达，能够充分的体现出数学题目中的本质变化，使学生能够有效的利用函数思维进行数学题目的解答，并能从中探索出更加灵活丰富的解题方法，极大提升了学生的数学能力。

一、函数思维定义分析

苏联伟大的思想导师恩格斯曾在《自然辩证法》这一著作中提到，自然界之所以是变化的，不是其本身产生了变化，而是人的思维与智力产生了改变才发生变化的。在此书中，他重点提出了思维变化及改变的重要性。而函数最为本质的东西就是变化，它是变量之间关系和相互转化的一种表达形式。在数学当中，通过函数思维能够清晰的表达数学对象之间的联系与转化。针对函数思维的定义，许多著作都对函数有着不同的理解，但无论哪种理解，它们的宗旨都是希望利用函数思维来掌握数学对象及性质间的相互联系与转化关系，并将其应用到数学解题当中去，以此探索出更加丰富灵活的数学解题方法和解题思路。

二、函数思维的基本特点

（一）辩证性

函数思维具有辩证性，它可以说是辩证思维中的一种，旨在通过探索数学问题中数学对象的联系和转化关系，以此对其进行研究和辩证，加深对数学对象的关系理解，并研究出丰富多样的解题方法，实现对数学对象的动态认识，通过函数思维的渗透，能使学生大幅提高对数学的钻研能力和解题能力，并且培养了学生的辩证精神。

（二）逻辑性

在数学解题当中，逻辑性非常重要，函数思维也一样要求逻辑性，逻辑性可以说是数学解题思想的最基本形式，只不过在其他三种思维中，只是强调对逻辑性进行调整及统一，但却缺少变化性，缺乏数与形的结合与转化，而在函数思维当中则非常注重这一点，它能够通过函数关系将代数和几何进行有机结合起来，从而探索出丰富的解题思路与方法。

（三）变化性

函数思维具有变化性的特点，这是函数思维的最基本特点，通过函数思维的不断转变，能够反映出数学问题中所有数学对象的相互联系及转变关系，能够利用函数的形式来表达数学最本质的内涵，并以此來不断适应数学的不断发展。而学生也可以充分利用函数思维的变化性特点，不断研发出更加丰富多样的解题方法。

三、函数思维在中学数学解题中的应用路径

（一）函数思维在方程上的应用

例题1：已知A、B、C都是锐角，公式为A+B+C=，求证：

解析：依据例题中的已知项，可以分析出、、都是正数，为了证明这三者的正数之和不大于，可以分析出，必须将这三个根式的关系当成一个整体，然后用字母e，f，g来进行代替，并建立它们的函数关系，例如代入到上述关系式当中，当A+B+C=的时候，即可。

解析：此例题根本上是利用函数关系的建立来将复杂的关系式比做成单一的字母或对象，然后通过已知的条件、定理及概念等，将未知问题转变为已知问题来进行数学题的解答。

（二）函数思维在不等式中的应用

例题2：已知字母，求证：，证明构造函数[0，+∞]易证，当时，G（m）单调递增。可求得即

解析：此例题是通过对不等式基本特点进行分析，来构建出辅助函数，并使不等试的证明变为函数增减性来进行分析，以此更加便捷的进行证明。

（三）函数思维在数列中的应用

例题3：求出数列的最大项。解析：通过对进行分析，其可以列出1，……等无尽的实数串，以此来逐个进行分析和比较明显是不可能的。而利用函数思维将转化为函数G（m）=，并在[0，+∞]的基础上进行讨论，由于G（m）=，将G（m）=0做为条件，可以得出G（m）在[0，+∞]中的唯一一个稳定点，m=b，当m大于b时，G（m）小于0，而当m小于b时，G（m）大于0，说明G（m）在m=b的位置上取最大值，然后把值d代入到中去，从而得出数列，因为b的值是大于2小于3的，经过比较G（2）和G（3）的大小得出大于，所以，数列的最大项是。

四、结语

本文通过对函数思维的定义及特点进行了分析，阐述了函数思维在数学解题中的重要意义，并利用函数思维来阐述中学数学例题中的数学对象的联系及相互转化，并通过中学数学例题的方式，采用函数思维来进行解答，在此基础上来研究函数思维在中学数学解题中的应用路径。

参考文献：

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[2]韩云霞，马旭. 浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J]. 宁夏师范学院学报，2016，03：92-95.

[3]韦兰英. 函数思想在数学解题中的应用[J]. 南宁师范高等专科学校学报，2002，03：54-55.

作者简介：

刘永红（1978.11～ ），女，汉族，甘肃人，本科，新疆第六师新湖一中，中教一级，研究方向：中学数学课堂教学改革，中学数学解题研究。