“猜想教学”在初中数学教学中的应用研究

刘贝贝

摘 要：猜想是一种创造性的思维活动，它既是科学发现的先导，也是实现问题解决的一种重要手段。在数学教学中应用猜想教学，能使学生根据已有的知识和材料，通过直觉观察、动手操作、归纳和类比等方法猜想新知，并对猜想的内容进行验证。学生由“猜想—验证”的学习方式，再现数学知识的发现过程，不仅能够扎实获得数学知识和技能，灵活运用思想和方法，还能获得学习的美好体验，享受发现学习带来的愉悦，这将有利于改变长期以来数学课堂教学中过分重视学生知识、技能的习得而忽视知识的形成过程和学生的体验。

关键词：数学猜想教学；应用；主体性

数学猜想即关于数学学术方面的猜想（或称猜测、假设等），这些猜想有的被验证为正确的，并成为定理；有的被验证为错误的；还有一些正在驗证过程中。

著名科学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现和发明。”猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的知识和材料作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维形式。

数学猜想就是依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所做出的一种推断，是数学中的合情推理。波利亚指出：数学中有“论证推理和合情推理”两种推理，它们是思维的两种形式、两个方面，它们之间并不矛盾，在数学的发现和发明过程中起交互作用。在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与推测，区别正确的论证与不正确的尝试；而在合情推理中，要区别理由较多的推测与理由较少的推测。所以说，数学猜想是合情的推理，而不是不合理的乱猜。本文就“猜想教学”在初中数学中的应用谈点个人见解。

一、猜想论证可以激发学生的学习兴趣，充分发挥学生学习数学的主体性

实现猜想的途径，可以是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等。数学猜想是有一定规律的，如类比的规律、归纳的规律等，并且要以数学知识和经验为支柱。在证明一个数学问题之前，应猜想这个问题的内容；在完全做出详细证明之前，应先有猜想证明的思路。例如，在《等腰三角形的性质》一节中，教师就可以让学生动手操作—猜想—论证—等出结论，学生已认识等腰三角形，课前可以让学生找（或做）一些等腰三角形的模型，经历动手操作的过程，猜想出等腰三角形的对称性，再由对称性得到等腰三角形的相关性质，最后归纳出猜想，一一加以验证其正确性。这一过程充分激发了学生学习的兴趣，调动了学生探索数学问题的积极性。这样获得的知识就不再是由老师讲解分析，学生理解记忆而得的，而是学生通过“猜想——验证”的方法自主获得的。学生对新知进行猜想后急于求知和验证，学习数学的积极性也就会被充分调动，学生能积极参与接下去的数学活动。在接下去的探索活动中教师引导学生验证猜想，修正猜想，完善猜想，最终获得新知，学生由此经历了数学知识的再发现和再创造，从中获得了成就和满足的情感体验，对数学学习也就会产生浓厚的兴趣。另外，应用“猜想教学”，使学生的学习变成一个自主探索的过程。猜想教学要求学生在教师引导下，利用材料，主动探索发现而不是消极接受知识。这种教学体现了学生参与和发现的主体地位。学生在学习过程中以主人翁的姿态出现，以积极的心态调动原有的知识和经验猜想新知识，同化新知识并不断构建整个知识体系。

二、数学猜想的方法

1.运用不完全归纳法进行猜想

这种猜想是对研究对象或问题从一定的数量进行观察、分析，从而得出有关命题、结论、方法。归纳推理是针对一类事物而言的。一类事物A中的部分个体A1、A2…An都具有性质P，那么A中的全部个体是否都具有性质P呢？这就是一个归纳猜想的思维过程。例如，在等边三角形的两边截取BE=CD，那么可以求出则∠APD的度数为60°。在正方形的两边截取BE=CD，那么可以求出∠APD=90°。在正五边形的两边截取BE=CD，可以求出∠APD=108°。因此，学生可以根据归纳法得到猜想，当多边形是正n边形，两条线段的一个夹角等于这个正n边形的每一个内角。

2.运用类比法进行猜想

这种猜想是通过比较两个对象或问题的相似性得出数学命题的猜想。在A和B两类事物中，A有性质P成立，B也有性质P成立，A类中还有性质Q成立，B类中是否也有性质Q成立呢？这是一个类比猜想的思维过程。例如，在特殊的平行四边形判定的证明过程中，我们先掌握了平行四边形的判定，可以从边、角、对角线三个方面判定，那么对于特殊的平行四边形是不是也可以从这三个元素来分析呢？在教学过程中，教师可以引导学生先猜想后论证，矩形的对角线相等，那么对角线相等的平行四边形是矩形吗？也许在这一过程中，还会有学生提出，对角线相等的四边形是矩形吗？不完全归纳不仅能提高学生的数学猜想能力，还可以在这一过程将新知进行类比，帮助学生理解记忆。

3.运用对称的思想进行猜想

这种方法是对研究的对象或问题，运用简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等，结合已有的知识和经验所作出的知觉性猜想。例如，困难的问题可能存在着简单的解答、对称的条件可能存在对称的结论以及可能会用对称变换的方法加以解决、和谐的或奇异的构思有助于问题的明朗化或简单化就是因为使用了对称的思想。

三、数学猜想的应用

在数学教学实践中，作为教师，我们应当引导学生大胆地猜想假设，使学生在学好知识的同时，发展能力，激发潜力，教学中鼓励学生猜想，并让学生体会猜想的重要意义。

首先，数学猜想有利于更为透彻地理解和掌握数学知识。

数学的特点是逻辑性强，学生在学习时往往只注重知识的表层，或者去死记知识，这样学生在做题时就出现了知道但是不会做的现象，所以在教学中，教师必须想方设法地让学生理解所学知识，并掌握这些知识。

数学课本中的很多定理，并不是由纯逻辑的演绎推理得到的。多数是由特例，通过观察、归纳、猜想，最后才是给出证明。教师在讲解这些结论时，可以不要先把结论直接告诉学生，而是让学生一起参与归纳猜想论证。如果教师直接将这些结论抛给学生，学生就会感到很突然，而通过归纳猜想得出结论就显得很自然。当然这样的猜想，还要引导学生验证。

例如在讲解多边形的内角和时，我们可以先带着学生复习三角形的内角和知识，再鼓励学生将多边形分解成三角形，看看有多少种分割方法。这样，让学生通过讨论，就出现了几种不同的分割方法，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面培养学生的动手操作能力。接下来引导学生将多边形内角和的求法转化成多个三角形的内角和，其实，这一环节，学生自己也可以想到做到。最后再归纳总结出多边形的内角和公式：180°·（n-2），学生叙述的语言表达可能不是十分准确，但转化的方法则非常清楚，学生理解得也更为透彻，这样学生也更加清楚教材为什么要在讲完三角形的内角和后直接讲多边形的知识，引导学生注意数学学习的连贯性，体会类比和转化的思想。

其次，数学猜想有利于更快捷地寻找解题思路。

数学猜想是数学认识过程中不可缺少的一环节，是数学思维的基本要素，归纳和类比是两种主要表现形式。数学史上的许多重要成就是借助于数学猜想获得的，各种数学新观念的产生，都或多或少有它们的作用。

演绎推理是证明数学结论、表现数学体系的重要形式，但从数学发现过程和数学研究方法的角度看，数学与自然科学一样又是归纳的科学。中学数学教学应使学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学。数学教学不单单是重现现有的结论和结论的证明过程，问题和结论的发现过程也是重要内容。在教学实践中应有意识地关注学生的学习过程，关注学生个性与潜能的发展，从而有利于培养学生的创新精神。

参考文献：

[1]郭东进.猜想在解析几何教学中的应用[J].大家，2012（1）.

[2]赵雄辉.让我们教数学猜想[J].湖南教育，2000（21）.