二次函数双根式顶点化的探索与研究

李道生 谢七生 魏均林 平功传 黄伟新 王振华

摘 要：通过研究二次函数双根式与顶点式的相互转化，推出了一种用双根表示抛物线顶点坐标的新的解析式——根顶式，从而实现了双根式与顶点式的统一，为解决二次函数的有关问题提供了一种全新的思考方法。

关键词：二次函数；双根式；顶点化；探索研究

“二次函数”是初中数学的重要内容，二次函数的解析式除了一般式外，另有双根式和顶点式。

双根式：y=a（x-x1）（x-x2）

顶点式：y=a（x+■）■+■

这两种表达式在解题过程中各自发挥着重要的作用，那么它们之间有什么内在联系？亦即双根与顶点坐标之间有什么联系？翻阅大量的课外书籍，我们发现还没有任何人思考过这一问题。

我们试着研究二次函数双根式与顶点式的相互转化，推出了一种用双根表示抛物线顶点坐标的新的解析式——根顶式，从而实现了双根式与顶点式的统一，为解决二次函数的有关问题提供了一种全新的思考方法。

下面，将给出我们发现的“二次函数的根顶式”及其推导过程。

二次函数的根顶式：设抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A

（x1，0），B（x2，0）两点，则y=a（x-■）■-■x1-x2■

证明：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点

∴由二次函数的双根式，有

y=a（x-x1）（x-x2）=ax2-（x1+x2）x+x1x2

=ax2-（x1+x2）x+（■）■-（■）■+x1x2

=a（x-■）■-■（x1-x2）■

=a（x-■）■-■x1-x2■

显然，解析式y=a（x-■）■-■x1-x2■是用双根x1，x2表示的，所以可以看作是二次函数的双根式，又因为其外在形式是顶点式，所以又可以看作是二次函数的顶点式：

顶点坐标为（■，-■x1-x2■），

对称轴方程为x=■

（注意：（x1-x2）■=x1-x2■，这样变形是为了突出解析式的几何意义，使解析式的内涵更丰富）

鉴于此，我们称此解析式为二次函数的“根顶式”。

既然根顶式的双重身份实现了双根式与顶点式的和谐统一，我们猜想它一定可以同时发挥双根式与顶点式的双重功能，甚至会“1+1>2”。

带着这一猜想，我们有意识地运用根顶式于二次函数的有关习题中，真切感受到它的强大威力，一大批问题由此获得直接快速、简捷巧妙的解法。

下面略举数例，让我们一起欣赏根顶式的无穷魅力吧！

例1：已知二次函数的图象与x轴相交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值2，求此二次函数的解析式。

解：这里x1=-2，x2=3，将其代入二次函数的根顶式

y=a（x-■）■-■x1-x2■

得：y=a（x-■）■-■a

∵ymax=2

∴-■a=2■ 解得a=-■

故二次函数的解析式为y=-■（x-■）■+2

例2：抛物线的顶点坐标为（-2，3），与x轴相交于（x1，0），（x2，0）两点，且x1-x2=6，求此二次函数的解析式。

解：设所求解析式为：y=a（x-■）■-■x1-x2■

依题意知：■=-2 -■x1-x2■=3

∵x1-x2=6

∴-■×62=3 解得a=-■

故所求解析式为：y=-■（x+2）■+3

例3：抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，-1），对称轴x=-2，在x轴上截得线段长为2■，求此抛物线的解析式。

解：设抛物线的解析式为y=a（x-■）■-■x1-x2■

∵x1-x2=2■

∴-■x1-x2■=-2a

又∵■=-2 ∴y=a（x+2）■-2a

∵抛物线经过点（-1，-1）

∴-1=a（-1+2）■-2a 解得a=1

故所求抛物线的解析式为：y=（x+2）■-2

例4：抛物线y=-x2+4x-5向上或向下平移若干个单位后，得到的新抛物线与x轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的解析式。

解：y=-x2+4x-5的对称轴x=-■=2，因為抛物线上下平移对称轴不变

故平移后的抛物线对称轴方程仍为x=2

设平移后的抛物线与x轴的两交点为（x1，0），（x2，0），

则■=2

∵a=-1 x1-x2=4

∴-■x1-x2■=4

故平移后的抛物线解析式为：y=-（x-2）2+4

例5：已知抛物线y=-x2+bx+c的最大值为5，求此抛物线在

x轴上截得的线段长。

解：这里，a=-1

∵ymax=5

∴■x1-x22=5，解得x1-x2=2■

例6：已知y=2x2+bx+c的图象在x轴上截得的线段长为4，求此函数的最小值。

解：这里，a=2>0 x1-x2=4

故ymin=-■x1-x22=-■×42=-8

我们知道，若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点坐标为

A（x1，0），B（x2，0），顶点坐标为（h，k），则

y=a（x-x1）（x-x2）

=a（x-■）■-■x1-x2■

=a（x+■）■+■

从而知 h=-■=■ （1）

k=■=-■x1-x2■ （2）

其中，关系式（2）将抛物线y=ax2+bx+c顶点纵坐标k与系数a、b、c及抛物线与x轴两交点间的距离x1-x2联系在一起，从而为解决抛物线的某些问题提供了一个简明统一的处理方法。

例7：已知抛物线y=x2-mx+4与x轴交于A、B两点，且A、B两点间的距离为2，求此二次函数的解析式。

解：依题意，x1-x2=2 根据k=■=-■x1-x2■

∴■=-■×22

解得m=±2■

故所求二次函数的解析式为y=x2±2■x+4

不经意间获得如此“重要”的发现，对于教师也许不算什么，但教师亲自体验数学发现的过程，将有利于设计符合数学发现思维规律的教学程序。科学上许多重要的发现常常是灵感的产物，可谓“灵光一闪，计上心来”，但灵感的产生只垂青于孜孜不倦、潜心研究的有心人，只要我们带着探索发现的心有意识、有准备地思考问题、研究问题，不放过头脑中闪现的蛛丝马迹，牢牢抓住稍纵即逝的闪念，就一定会有所收获、有所创造。

结果也许并不重要，重要的是发现过程中所反映出的思维方法有利于启发思路、活跃思维、培养创新意识，并从中感受到智力的愉悦、发现的乐趣，从而更加自觉地探索发现有价值的结果，最终成为对社会有益的创新型人才。

作者简介：李道生，湖北省赤壁市车站学校数学教师，主要从事快速记忆、创新教育、教材教法等方面研究。谢七生、魏均林、平功传、黄伟新、王振华，赤壁市实验中学教师。