α稳定噪声下一类周期势系统的振动共振∗

焦尚彬 孙迪 刘丁 谢国 吴亚丽 张青

1)(西安理工大学自动化与信息工程学院,西安 710048)

2)(陕西省复杂系统控制与智能信息处理重点实验室,西安 710048)

α稳定噪声下一类周期势系统的振动共振∗

焦尚彬1)2)†孙迪2)刘丁1)谢国1)吴亚丽1)张青1)

1)(西安理工大学自动化与信息工程学院,西安 710048)

2)(陕西省复杂系统控制与智能信息处理重点实验室,西安 710048)

(2017年1月14日收到;2017年3月18日收到修改稿)

将多个低频微弱信号、高频信号和加性α稳定噪声共同激励的一类周期势系统作为研究模型,以平均信噪比增益(MSNRI)为性能指标,对α稳定噪声环境下周期势系统中的振动共振现象进行了研究,分别探究了α稳定噪声的特征参数α、对称参数β、加性噪声强度放大系数D、高频信号幅值B以及频率Ω对振动共振输出效应的影响.研究结果表明∶1)在不同分布的α稳定噪声环境下,固定频率Ω(或幅值B),当幅值B(或频率Ω)逐渐增大时,MSNRI-B(或MSNRI-Ω)曲线出现多个峰值,即存在多个B区间(或Ω 区间)可诱导振动共振,并且这些区间不会随噪声分布参数α或β的变化而变化;2)当加性噪声强度放大系数D发生变化时,幅值B和频率Ω的共振区间没有随着D的变化而变化,表明只有高频信号能量向待测低频信号转移,噪声能量并没有向待测低频信号转移.另外当幅值B、频率Ω固定时,随着D的逐渐增大,依然可以实现微弱信号的检测,表明振动共振可以克服工业现场噪声强度不可调控的缺点.本文研究结果提供了一种新的微弱信号检测方法,在信号处理领域有着潜在的应用价值.

∶振动共振,周期势系统,多频微弱信号检测,平均信噪比增益

PACS∶05.45.—a,05.90.+m,05.40.—a,02.60.cbDOI∶10.7498/aps.66.100501

1 引 言

近十几年来,非线性系统中一种与随机共振[1]相关的现象——振动共振引起了人们的广泛关注.它是指非线性系统在高频信号与低频信号的激励下,其响应在低频信号频率处的幅值随着加入的高频信号幅值或者频率的变化呈现非线性关系,这是一种利用外加高频信号的能量来增强低频有用信号能量的新型非线性信号处理方法.与随机共振方法相比,振动共振具有快速、实时处理信号的能力,能够克服随机共振中噪声强度不可任意控制的缺点,并且基于振动共振原理的信号传播效率要高于基于随机共振原理的信号传播效率[2,3].

振动共振最早是由Landa和McClintock[4]提出的,他们在研究随机共振时,将噪声替换为高频率的简谐信号,进而发现了另一种奇特的非线性动力学特性,即振动共振.此后,许多学者给出了振动共振相关原理的证明,并不断提出新的振动共振理论,同时也针对这些理论方法展开了大量的理论和实验研究[2,5−8],并将其应用到涉及微弱信号处理的诸多领域中.微弱信号和高频信号共同作用的一维Langevin方程模型是最经典的振动共振模型,而近十几年的研究中,人们不断提出新的振动共振模型,如双稳系统[4,5,9]、时滞系统[10−12]、Duffing系统[11,13]、神经动力系统[14−16]、五次方振子系统[17−20]等,并研究了双稳系统中发生在高阶频率处的振动共振现象[2,21,22].这些模型的提出极大地丰富了振动共振理论,扩展了振动共振的应用范围.随后,许多学者针对工业现场中无法获知背景噪声的有用信息以及噪声强度不可控等特征,在这些振动共振模型上展开了大量研究.如Zaikin等[23]研究了一个受到两种高低频周期信号驱动并耦合噪声的空间扩展系统的振动共振现象,表明当高频信号幅值取得某一最佳值时,系统对低频信号的响应达到最佳,一方面是由于在共振输出中噪声作用使得双稳系统的相位发生变化,另一方面是由于在高频信号驱动作用下振动共振增强了系统对低频信号的响应特性.Casado-Pascual和Baltanas[24]研究了粒子在受到双色力和附加噪声激励的双稳态系统中的振动共振现象,并在适当条件下给出了量化这一现象的表达式.Chizhevsky和Giacomelli[25]解析和数值分析了具有一定噪声等级的非周期二进制信号的振动共振现象,表明在随机双稳态系统中,振动共振是一种提高检测和恢复非周期二进制信号的有效方法.上述文献中研究的基于双稳或者单稳系统的振动共振微弱信号检测方法,虽然能使信号得到显著增强,但当输入信噪比较低时,其检测能力会受到很大限制.

近几年来,多稳系统的研究逐渐兴起,人们提出不同的多稳振动共振模型.如Yang和Liu[26]研究了具有时滞的二维系统中的振动共振现象,通过调节时滞参数来控制振动共振的发生,另外还研究了二维系统中的多重振动现象及其产生机理;Jeyakumari等[18]研究了三稳态系统中的振动共振现象,讨论了三个系统参数对势阱个数和振动共振检测效果的影响;杨建华[3]提出了一种不同于三稳态系统的新型振动共振模型,即一维多稳态系统,并在欠阻尼和过阻尼情形下研究了受双频信号激励的一维多稳态系统,发现了一种新型的多重振动共振现象.但是,这些研究成果基本上都是没有考虑噪声或是在高斯噪声的条件下取得的,由于高斯分布所描述的只是正常扩散,即只能模拟在均值小范围内的起伏,而在实际应用中遇到得很多随机信号都具有显著的脉冲特性和拖尾特性,这时就需要一种更加广义的高斯分布即α稳定分布来描述这些信号.α稳定分布是一种能够保持自然噪声过程的产生机制和传播条件的极限分布,高斯分布只是它的一个特例[27].到目前为止,α稳定噪声下周期势系统的振动共振现象尚未见相关报道.本文以文献[3]中的模型为基础,引入具有代表性的α稳定噪声,对α稳定噪声背景下周期势系统中多个低频微弱信号的振动共振现象进行研究,并针对不同α稳定噪声分布参数以及不同噪声放大系数,探讨外加高频信号参数对平均信噪比增益的作用规律,以进一步提高基于振动共振的微弱信号检测能力.

2 模型与方法

2.1 周期势系统模型

本文研究了一类周期势系统,系统的动力学方程如下∶

(1a)式中,V(x)为周期势系统的势函数,V(x)=−cos(x).根据势函数的特点我们可以看出,在不考虑外激时,系统有多个稳定状态x∗=±2nπ,n为任意的整数,(1a)式不仅可以描述粒子在一维多势阱中的运动,而且还可以作为物理摆、约瑟夫森结、锁相循环振子等不同的物理模型.s(t)是待测信号,k表示待测信号的数量,wi表示不同待测信号频率.B cos(2πΩt)是外加高频信号,并假设Ω ≫wi.ηα(t)为加性α稳定噪声,是一个非高斯信号,具有显著的尖峰脉冲特性,其概率密度函数的衰减过程比高斯分布要慢,表现出显著的拖尾.基于广义中心极限定理的α稳定分布描述了信号统计分布的非高斯性和重拖尾性,文献[28—30]中对α稳定分布和α稳定噪声产生方法已有解释,本文不再赘述.由α稳定分布的特征函数可知,α稳定噪声的分布特征是由特征指数α∈(0,2]、对称参数β∈[−1,1]、尺度参数σ∈[0,+∞)及位置参数µ∈(−∞,+∞)四个参数来决定的,通常记α稳定分布为Sα(σ,β,µ).D为加性α稳定噪声的强度放大系数,通过改变D可以间接地影响α稳定噪声的尺度参数σ,从而改变加性α稳定噪声的强度[31−33].

将(2)式代入(1a)式,对式中的各项在TH的较短时间内求平均,假设X(t)和噪声的统计特性不受短时求均值的影响,则有

其中U(x)=−J0(B/Ω)cos(x),表示有效势函数,J0(•)是零阶的第一类贝塞尔函数[3].为了探究系统响应中所含有的低频成分,将等式Y=X−x∗代入(3)式并在稳定平衡点x∗=±2nπ的邻域内将其进行线性化处理,得到相应的线性方程如下∶

由(4)式可以看出,随着高频信号参数的变化,多稳系统的动力学特性将随之改变,必将影响系统所产生的振动共振效应.

取Ai=0,D=0时,可得高频信号幅值B、频率Ω与多稳系统的有效势函数U(x)的曲线如图1和图2所示.

图1 高频信号幅值B对有效势函数U(x)的影响(Ω=6)Fig.1.Potential U(x)for different B with Ω=6.

由图1和图2可以看出,系统具有多个稳定状态x∗=±2nπ和多个势阱,形成周期势系统.在图1中,固定Ω=6,B分别取1,6,11时,得到系统的有效势函数曲线.从曲线可以看出,随着B的变化,系统的势垒高度也在变化,B越小,系统的势垒越高,粒子越不易发生跃迁.因此,在检测微弱信号时,可以适当地增大高频信号幅值B,使粒子在势阱间跃迁,将高频信号能量向待测信号转移,增强待测信号能量,产生振动共振现象.在图2中,固定B=5,观察高频信号频率Ω对有效势函数的影响,发现当Ω越小时,系统的势垒高度越小,粒子越容易发生跃迁,发生振动共振.同时,从图1和图2中均可发现,高频信号参数B,Ω的变化不会影响系统的势阱个数,也就是说,无论B,Ω如何变化,本文所研究的非线性系统均为周期势系统.因此,可以通过调节高频信号参数B和Ω,改变系统的势垒高度,影响粒子的跃迁,进而观察系统是否发生振动共振现象.

图2 高频信号频率Ω对有效势函数U(x)的影响(B=5)Fig.2.Potential U(x)for different Ω with B=5.

本文采用数值仿真的方法研究周期势系统中多个低频微弱信号的振动共振现象,即对(4)式利用四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)算法进行求解[28,34].具体解法如下∶

(5)式中,a=−J0(B/Ω);y(n)为系统输出第n次采样值;s(n)为输入信号第n次采样值;h为采样步长,其取值实际上为采样间隔.

由于α稳定分布的特征指数α越小,α稳定分布的脉冲性就越强,这就导致粒子长时间跳跃过程中路径变化很快以至无限大,因此,在数值模拟中需要对输出信号y(t)进行人为的截断[33,35],来解决粒子跳跃轨迹无限大的问题,文中所采取的截断措施为∶当|y(t)|＞3时,令y(t)=sign(y(t))×3.

2.2 振动共振性能指标

振动共振需要选择合适的指标来定量描述系统输出共振效应.由于信噪比增益描述了输出信号相对于输入有用信号品质的改善程度[36],因此本文采用信噪比增益这个特征量来反映振动共振的检测能力.假设输入信号为(1b)式所示多频信号,第i个信号的信噪比增益记为SNRIi,则其定义为

式中,SP(ωi)in和SP(ωi)out分别表示振动共振前后第i个信号的功率,NP(ωi)in和NP(ωi)out分别表示在第i个输入信号频率处系统的输入输出平均噪声功率.

而对于多频叠加信号,为了衡量周期势系统对多个频率信号的整体检测效果,文中采用平均信噪比增益对振动共振系统的输出效应进行衡量,平均信噪比增益用MSNRI表示,表达为

其中SNRIi为第i路信号的信噪比增益,其余参数含义不变.

3 α稳定噪声下周期势系统中的振动共振现象

图3(a)为待测信号和加性α稳定噪声的时域图,相当于在实际中采集到的含噪信号,从图中可以看出,信号完全被噪声淹没.图3(b)为对该含噪信号进行快速傅里叶变换(FFT)得到的功率谱图,同样也无法观察到待测信号的信息.为了快速实现微弱信号的检测,根据振动共振原理,向含噪信号中外加一个高频信号,图3(c)为待测信号、α稳定噪声和外加高频信号的混合信号的时域图,由图中可以看出,待测信号完全被外加高频信号和噪声信号淹没,无法从时域图中看到待测信号的时域信息.图3(d)为相应的功率谱图(经FFT变换),从该图中也无法得到待测信号的频率信息.然后将该混合信号作为周期势系统的输入信号,并调节高频信号参数B,Ω,当B=29,Ω=5.6时,周期势系统输出时域信息如图3(e)所示,由于α稳定分布具有显著的尖峰脉冲特性,导致粒子长时间跳跃过程中路径变化很快以至无限大,所以在系统输出时域图中无法看到待测信号的时域信息.为了得到待测信号的频率,对系统输出信号进行FFT变换,系统输出频域图如图3(f)所示,图中可以清晰地观察到在频率0.03,0.05,0.08处出现了三个尖峰,这三个尖峰所对应的频率恰好是三个待测信号的频率,并且待测信号的幅值均被放大.这是由于高频信号参数的改变导致势垒高度改变,粒子有足够的能量越过势垒,故出现了周期信号占主导的阱间跃迁.说明在此参数下,输入信号、高频信号和周期势系统三者达到最佳匹配关系,发生振动共振,并且待测信号的幅值均被加强,即存在着高频信号能量向低频信号能量转移的机制.

为了进一步明确高频信号参数B,Ω,加性噪声强度放大系数D以及α稳定噪声分布参数α,β对周期势系统共振输出效应的影响,下面主要对不同的α稳定噪声分布,即参数α(特征指数0＜α≤2),β(对称参数−1≤β≤1)不同以及D不同时,高频信号参数B,Ω与周期势系统共振输出效应的作用规律展开仿真研究.

3.1 不同特征指数α下的周期势系统中的振动共振现象

待测信号和采样信号频率不变,令特征指数α分别为0.5,0.8,1,1.2,1.5,其余分布参数为β=0,σ=1,µ=0,根据上述仿真得到的参数,固定Ω=5.6,仿真得到MSNRI随高频信号幅值B的变化规律曲线如图4所示.

图3 多个低频微弱信号的检测结果 (a)系统输入信号时域图;(b)系统输入信号功率谱图;(c)系统输入叠加信号时域图;(d)系统输入叠加信号功率谱图;(e)系统输出时域图;(f)系统输出功率谱图Fig.3.Detection results of multi-low frequency weak signals:(a)The time domain of input;(b)the power spectrum of input;(c)the time domain of measured signals;(d)the power spectrum of measured signals;(e)the time domain of output;(f)the power spectrum of output.

同理,固定B=29,仿真得到MSNRI随高频信号频率Ω的演变规律曲线如图5所示.为了更加清楚地观察曲线的变化趋势,对图5进行了局部放大,如图6所示.

图4为不同α下MSNRI随高频信号幅值B的变化的整体图,图5是不同α下MSNRI随高频信号频率Ω的变化的整体图,图6是图5的局部放大图.图4表明,对同一频率Ω,随着高频信号幅值B的增大,曲线出现多个峰值,且峰值对应的平均信噪比增益MSNRI相同,系统产生多重振动共振现象,并且这种共振现象具有明显的规律性,即具有某种周期性,表现为多个共振区域的出现,且共振区域的个数随着B的增大而增加,导致了一系列振动共振的发生,这是由零阶贝塞尔函数的性质所决定的.由图6(a)和图6(b)中也可以看出,对同一幅值B,随着高频信号频率Ω的增大,曲线也会出现多个峰值,发生多重振动共振.但不同的是,这种多重振动共振现象没有规律性,共振区间也没有随着Ω的增大而增加,而是在Ω达到一定值时,振动共振消失,说明当B固定时,只有当频率Ω处于一定区间范围时,输入信号、高频信号和周期势系统达到最佳匹配,才可以发生振动共振,并不是高频信号频率越大,检测效果越好.另外,由图6(a)中可以看到,曲线并非是从零点开始,这是由于在四阶龙格-库塔算法计算中,a=−J0(B/Ω),根据数学计算原理,Ω不能取0.

对于一个确定的高频信号幅值B(或频率Ω),同时存在多个共振效应较好的高频信号频率Ω(或幅值B)区间与之对应.再进一步观察,发现共振效应较好的高频信号参数B,Ω区间不随特征指数α的变化而变化;对于同一个共振效应较好的高频信号参数B(或Ω)区间,α=0.5时系统的平均信噪比增益最大,即振动共振输出效应最好.

图4 不同α下MSNRI随高频信号幅值B的变化Fig.4.MSNRI versus B with different α.

图5 不同α下MSNRI随高频信号频率Ω的变化Fig.5.MSNRI versus Ω with different α.

图6 不同α作用下MSNRI随高频信号频率Ω变化的局部放大Fig.6.Partially enlarged of MSNRI versus Ω with different α.

3.2 不同对称参数β下的周期势系统中的振动共振现象

与3.1节相同,令待测信号和采样信号频率不变,对称参数β分别为−1,0和1,其余α=1.2,β=0,σ=1,µ=0,根据上述仿真得到的参数,固定Ω=5.6,仿真得到MSNRI随高频信号幅值B的变化规律曲线如图7所示;固定B=29,仿真得到MSNRI随高频信号频率Ω的变化规律曲线如图8所示,局部放大如图9所示.

与不同α作用下平均信噪比增益随高频信号参数的变化规律一样,不同β作用下平均信噪比增益随高频信号幅值B和频率Ω的变化也呈现多个峰值,出现多个共振区间,产生多重振动共振现象,并且共振效应较好的高频信号参数B,Ω区间不随特征指数β的变化而变化;进一步观察到,对于同一个共振效应较好的高频信号参数B(或Ω)区间,β=0时系统的平均信噪比增益远远大于β0时的平均信噪比增益,即β=0时振动共振输出效应最好.由此表明α稳定噪声呈现对称分布时系统的共振输出效应要好于非对称分布时的情形.

图7 不同β下MSNRI随高频信号幅值B的变化Fig.7.MSNRI versus B with different β.

图8 不同β下MSNRI随高频信号频率Ω的变化Fig.8.MSNRI versus Ω with different β.

图9 不同β作用下MSNRI随高频信号频率Ω的变化的局部放大Fig.9.Partially enlarged of MSNRI versus Ω with different β.

3.3 不同加性噪声强度放大系数D下的周期势系统中的振动共振现象

待测信号、采样频率与3.1节中参数相同,α稳定噪声分布特征参数分别为α=0.5,β=0,σ=1,µ=0,加性噪声强度放大系数D分别为0.8,1.5,2,5,10,固定Ω=5.6,进行仿真实验,得到MSNRI随高频信号幅值B的变化规律曲线如图10所示;同理,固定B=29,仿真得到MSNRI随高频信号频率Ω的变化规律曲线如图11所示,局部放大如图12所示.

图10为不同D作用下MSNRI随高频信号幅值B的变化曲线的整体图.从图10中观察到,随着高频信号幅值B的逐渐增大,曲线有多个峰值,出现多个共振区间,并且共振区间不随着加性噪声强度放大系数D的变化而变化,由此可以看出在这种情况下,只有高频信号能量向待测信号转移,噪声能量并没有向有用信号转移;纵向观察曲线图,随着D的逐渐增大,系统的平均信噪比增益逐渐减小,直至消失,说明当D到达一定值时,振动共振效应消失;图12为不同D作用下MSNRI随高频信号频率Ω的变化曲线的局部放大图,由图12(a)和图12(b)也可以得到与幅值B类似的结论∶当幅值B固定时,系统的共振区间不随加性噪声强度放大系数D的变化而变化,并且当频率Ω逐渐增大,平均信噪比增益曲线会出现多个峰值,产生多次振动共振,同样地,系统的平均信噪比增益随着D的增大而逐渐减小,直到消失.综合可以得到,当高频信号幅值B和频率Ω一定时,且噪声强度在一定范围内变化,虽然系统平均信噪比增益降低,振动共振检测效果被削弱,但周期势系统仍旧可以发生振动共振,从而克服了随机共振中噪声强度不可任意控制的缺点.

图10 不同D作用下MSNRI随高频信号幅值B的变化Fig.10.MSNRI versus B with different D.

图11 不同D作用下MSNRI随高频信号频率Ω的变化Fig.11.MSNRI versus Ω with different D.

图12 不同D作用下MSNRI随高频信号频率Ω的变化的局部放大Fig.12.Partially enlarged of MSNRI versus Ω with different D.

其他参数不变,加性噪声强度放大系数D=1.5时,仿真结果如图14所示.

在图13和图14中,(a)为待测信号,α稳定噪声和高频信号三者叠加信号的时域图;(b)是该叠加信号的频谱图,在时域图和频谱图均无法观察到输入信号的有用信息,有用信息完全被高频信号和α稳定噪声淹没;(c)为系统输出频域图.对比图3(f)、图13(c)和图14(c)可以看出,三幅图都在频率0.03,0.05,0.08处出现了三个尖峰,这三个尖峰所对应的频率恰好是三个待测信号的频率,并且输入信号的幅值均被放大.不同的是,当加性噪声强度放大系数D增大时,共振效应减弱,输入信号幅值被放大的程度降低,但仍旧可以实现微弱信号的检测,正好验证了上面得到的结论.

图13 多个低频微弱信号的检测结果 (a)系统输入叠加信号时域图;(b)系统输入叠加信号功率谱图;(c)系统输出功率谱图Fig.13.Detection results of multi-low frequency weak signals:(a)The time domain of measured signals;(b)the power spectrum of measured signals;(c)the power spectrum of output.

图14 多个低频微弱信号的检测结果 (a)系统输入叠加信号时域图;(b)系统输入叠加信号功率谱图;(c)系统输出功率谱图Fig.14.Detection results of multi-low frequency weak signals:(a)The time domain of measured signals;(b)the power spectrum of measured signals;(c)the power spectrum of output.

4 结 论

本文主要研究了α稳定噪声下周期势系统中的多重振动共振现象,并将其用于多频微弱信号的检测.分别探究了不同特征参数α和对称参数β下高频信号幅值B和频率Ω对周期势系统共振输出效应的影响,并针对噪声诱导随机共振的局限性,探讨了当加性噪声强度放大系数D不同时,高频信号参数B,Ω对振动共振输出效应的影响.得到如下结论∶1)对于一个确定的频率Ω,当幅值B逐渐增大时,MSNRI-B曲线出现多个峰值,即相应的有多个幅值B区间可以诱导振动共振,并且每个峰值所对应的平均信噪比增益相等,产生多重振动共振现象,这种现象具有一定的周期性,随着B的增大而增加,另外这些幅值B区间不随噪声分布参数α或β的变化而变化;类似地,对于一个确定的幅值B,随着频率Ω的增大,MSNRI-Ω曲线也会出现多个峰值,产生多个共振区间,发生多重振动共振,并且这些频率Ω区间不随噪声分布参数α或β的变化而变化,惟一不同的是当频率Ω增加到一定程度时,共振消失,这种共振没有规律性;2)当特征指数α不同时,对于幅值B和频率Ω的共振区间,当α=0.5时平均信噪比增益最大,共振效应最好;当对称参数β不同时,对于幅值B和频率Ω的共振区间,β=0时系统的平均信噪比增益远远大于β0时的平均信噪比增益,即α稳定噪声呈现对称分布时系统的共振输出效应要好于非对称分布时的情形;3)幅值B和频率Ω的共振区间没有随着加性噪声强度放大系数D的变化而变化,表明只有高频信号能量向待测信号转移,噪声能量并没有向待测信号转移,另外当幅值B、频率Ω固定时,随着D的逐渐增大,依然可以实现微弱信号检测,从而克服了工业现场中噪声强度不可任意控制的缺点.上述研究结论提供了一种新的微弱信号检测方法,在信号处理领域有着潜在的应用价值.

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PACS∶05.45.—a,05.90.+m,05.40.—a,02.60.cbDOI∶10.7498/aps.66.100501

*Project supported by the Key Program of National Natural Science Foundation of China(Grant No.61533014)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.U1534208,61503299).

†Corresponding author.E-mail:jsbzq@163.com

Vibrational resonance in a periodic potential system with α stable noise∗

Jiao Shang-Bin1)2)†Sun Di2)Liu Ding1)Xie Guo1)Wu Ya-Li1)Zhang Qing1)
1)(Faculty of Automation and Information Engineering,Xi’an University of Technology,Xi’an 710048,China)
2)(Shaanxi Key Laboratory of Complex System Control and Intelligent Information Processing,Xi’an 710048,China)

14 January 2017;revised manuscript

18 March 2017)

A periodic potential system excited by multi-low frequency weak signals,the high frequency signal and additive α stable noise is constructed.Based on this model,the vibrational resonance phenomenon under α stable noise is investigated by taking the mean signal-noise-ratio gain(MSNRI)of output as a performance index.Then the influences of stability index α(0 ＜ α ≤ 2),the skewness parameter β (−1≤ β ≤ 1)of α stable noise,the amplification factor D and the high frequency signal amplitude B,and frequency Ω on the resonant output effect are explored.The results show that under the different distributions of α stable noise,the multi-low frequency weak signals detection can be realized by adjusting the high frequency signal parameter B or Ω to induce vibrational resonance within a certain range.When α(or β)is given different values,the curve of MSNRI-B has multiple peaks with the increase of B for a certain frequencyΩ,and the values of MSNRI corresponding to peaks of the curve of MSNRI-B are equal.So the intervals of B which can induce vibrational resonances are multiple,and the multiple resonance phenomenon turns periodic with the increase of B.Similarly,the curve of MSNRI-Ω also has multiple peaks with the increase of Ω for a certain amplitude B,so the intervals of Ω which can induce vibrational resonances are also multiple.The difference is that the multiple resonance phenomenon becomes irregular with the increase of Ω.Besides,the resonance intervals of B and Ω do not change with α nor β.Under the different values of amplitude factor D,the resonance intervals of B(or Ω)do not change with the increase of D,indicating that only the energy of the high frequency signal transfers toward the signals to be measured,and the energy of α stable noise does not transfer toward the signals to be measured.Besides,when B and Ω arefixed,it can still be realized to detect the weak signal with the increase of D,which shows that the weak signal detection method based on vibrational resonance can overcome the shortcoming that noise intensity in industrial sites cannot be regulated and controlled.The results provide a new method of detecting the weak signal,and have potential application value in signal processing.

∶vibrational resonance,a periodic potential system,multi-low frequency weak signals detection,the mean of signal-noise-ratio gain

∗国家自然科学基金重点项目(批准号:61533014)和国家自然科学基金(批准号:U1534208,61503299)资助的课题.

†通信作者.E-mail:jsbzq@163.com

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