自主招生电学专题讲解

江苏 吴 俊

自主招生电学专题讲解

江苏 吴 俊

一、电场的计算

【例1】（2009·浙江大学自招）正方体八个顶点上各有一电荷为q的点电荷，求它们在上面中心O形成的合场强大小和方向。

【解析】设正方体边长为a，正方体上方顶点四个电荷在上面中心O形成的合场强为零。

正方体下方顶点四个电荷与上面中心O的距离为

每个点电荷在该点产生电场的场强大小为

由对称性可知该场强在正方体上方平面的分量相互抵消。垂直正方体上方平面的分量为

在上面中心O形成的合场强大小为

方向垂直于正方体上方平面向上。

【点评】库仑定律的应用，电场、电势的计算等问题是自主招生考试中的常考题。常用的方法有微元法、对称法和极限法等。其中电场强度的计算要注意利用矢量的叠加，对于一些选择题来说，可以利用对称法和极值法避开复杂运算。而电势为标量，叠加时利用标量的运算法则。

二、带电粒子在电场中的运动

【例2】（2010·华约自招）如图1所示，三个面积均为S的金属板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，构成两个平行板电容器。上板A中央有小孔D，B板开始不带电。质量为m、电荷量为q（q＞0）的液滴从小孔D上方高度为h处的P点由静止一滴一滴落下。假设液滴接触B板可立即将电荷全部传给B板。油滴间的静电相互作用可忽略，重力加速度取g。

图1

（1）若某带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D上方落下的第几滴？

（2）若发现第N滴带电液滴在B板上方某点转为向上运动，求此点与A板的距离H（以空气为介质的平行板电容器电容C＝S/（4πkd），式中S为极板面积，d为极板间距，k为静电力常量）。

【解析】（1）根据题意，A、B板与B、C板构成的两个平行板电容器的电容分别为

设第n滴带电液滴可在A、B板之间做匀速直线运动，当第n滴带电液滴处于A、B板之间时，B板所带电荷量为

Q1＋Q2＝（n－1）q③

式中，Q1和Q2分别为金属板B上、下两个表面上的电荷量。设B板电势为U，则

Q1＝C1U④

Q2＝C2U⑤

A、B板之间的电场强度为E1＝U/d1⑥

由于第n滴带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动，有

qE1＝mg⑦

（2）当第N－1滴带电液滴在B板上时，（1）中①～⑤仍有效，相应的B板电势以及其上、下表面所带电荷量分别记为U′、Q′1和Q′2。B板所带电荷量为

按题意，第N滴带电液滴会在下落到离A板距离为H（H＜d1）时，速度为零，此时液滴所在位置的电势为

由能量守恒定律得

【点评】带电粒子在电场中的运动是高考和自主招生命题中的热点，只不过自主招生命题中，出现了电容器的串、并联问题。串联电容器充电后各电容器的电量相同，即Q1＝Q1＝…Q，第一个电容器的正极与第n个电容器的负极之间的电压U为各电容器电压Ui之和，即，并联电容器充电后正极总电量Q等于各电容器正极电量Qi之和，即。

带电粒子在电容器中的运动主要涉及的知识点是牛顿运动定律、动量定理、动能定理等，不涉及时间优先考虑动能定理，对于多过程问题可以借助图象法。

三、带电粒子在磁场中的运动

【例3】（2013·北约自招）如图2所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直该竖直平面朝里。竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l。带电量q＞0，质量为m的质点P，以初速度v从a对准b射出。忽略空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m和B均为不可改动的给定量。

图2

（1）若无论l取什么值，均可使P经直线运动通过b点，试问v应取什么值？

（2）若v为（1）问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？

（3）对每一个满足（2）问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间。

（4）对每一个满足（2）问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，在此过程中可达到的最大运动速率vmax。

【解析】（1）要使P经过直线运动通过b点，必有mg＝qvB

解得

（2）设质点速度为v＋Δv，质点所受到的洛伦兹力为q（v＋Δv）B，与重力的合力为mg＋q（v＋Δv）B＝qΔvB，所以质点的运动可视为沿ab连线方向做速度为v的匀速直线运动和速度为Δv的圆周运动，要使质点通过b点，t＝nT②

l＝vt④

以上各式解得

【点评】带电粒子在电磁场中的运动不仅是自主招生命题的热点，也是高考的热点和重点。速度分解的穿插应用在自主招生中比较常见，高考中主要是福建等地出现几次。应对策略还是要掌握高考中的几种题型，如带电粒子在分立场（有界）、组合场、复合场等的运动，由高考促自招，这样的对策与高考和自招的时间安排及内容都是吻合的。

四、电磁感应定律的综合应用

【例4】（2011·北约自招）不计电阻的光滑平行轨道EFG、PMN构成相互垂直的L型，如图3所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向与水平的EFMP平面夹角θ（θ＜45°）斜向上，金属棒ab、cd的质量均为m、长均为L、电阻均为R。ab、cd由细线通过角顶处的光滑定滑轮连接，细线质量不计，ab、cd与轨道正交，已知重力加速度为g。

图3

（1）求金属棒的最大速度vmax；

（2）当金属棒速度为v时，且v小于最大速度vmax时，求机械能损失的功率P1和电阻的发热功率P2。

【解析】金属棒达到最大速度vmax时，回路的感应电动势E＝B cosθ·Lvmax－B sinθ·Lvmax＝ BLvmax（cosθ－sinθ），回路电流为I＝E/2R

当两金属棒做匀速运动时，速度达到最大值，有

（2）当金属棒速度为v时，回路中的感应电动势

E′＝B cosθ·Lv－B sinθ·Lv＝BLv（cosθ－sinθ），回路中电流I′＝E′/2R，

机械能损失的功率

【点悟】解答双杆问题时，首先要根据右手定则（或楞次定律）判断每个杆电动势的方向，进而判断两个电源是顺接还是反接，从而准确写出电路中电流的表达式，在使用E＝Blv公式时要注意使用的条件，B与v不垂直时要注意矢量的分解，在处理功能问题时，要分清安培力做功功率、电路中的发热功率等。

小试身手

1．（第32届全国高中物理竞赛预赛）如图所示，一半径为R的固定的光滑绝缘圆环，位于竖直平面内，环上有两个相同的带电小球a和b（可视为质点），只能在环上移动。静止时两小球之间的距离为R。现用外力缓慢推左球a使其到达圆环最低点c，然后撤除外力，下列说法正确的是（ ）

A．在左球a到达c点的过程中，圆环对b球的支持力变大

B．在左球a到达c点的过程中，外力做正功，电势能增加

C．在左球a到达c点的过程中，a、b两球的重力势能之和不变

D．撤除外力后，a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒

2．（2010·华约自招）如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的1/3。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B2/B1等于 （ ）

3．（2011·华约自招）空间某区域内存在匀强磁场，磁场的上下边界水平，方向和竖直平面（纸面）垂直，两个由完全相同的导线制成的刚性线框a和b，其形状分别是周长为4l的正方形和周长为6l的矩形，线框a和b在竖直平面内从如图所示的位置开始自由下落，若从开始下落到线框完全离开磁场的过程中安培力对两线框的冲量分别为Ia、Ib，则Ia∶Ib为 （ ）

A．3∶8 B．1∶2 C．1∶1 D．3∶2

4．（2011·卓越自招）心电图仪是将心肌收缩产生的脉动转化为电压脉冲的仪器，其输出部分可用一个与大电阻（40 kΩ）相连的交流电源来等效，如图所示。心电图仪与一理想变压器的初级线圈相连，以扬声器（可以等效为阻值为8Ω的电阻）与该变压器的次级线圈相连。在等效电源的电压有效值U0不变的情况下，为使扬声器获得最大功率，变压器的初级线圈和次级线圈的匝数比约为 （ ）

A．1∶5 000 B．1∶70

C．70∶1 D．5 000∶1

5．（2015·第32届全国高中物理竞赛预赛）在“利用电流传感器（相当于理想电流表）测定干电池电动势和内阻”的实验中，某同学利用两个电流传感器和定值电阻R0＝2 000Ω以及滑动变阻器，设计了如图甲所示的电路，减小误差。该同学测出的实验数据如下表所示。

1 2 3 4 5I1/m A 1．35 1．30 1．20 1．10 1．05I2/A 0．30 0．40 0．60 0．80 0．90

表中I1和I2分别是通过电流传感器1和2的电流。该电流的值通过数据采集器输入到计算机，数据采集器和计算机对原电路的影响可忽略。

（1）在图乙中绘出I1－I2图线；

（2）由I1－I2图线得出，被测电池的电动势为

6．（第30届全国中学生物理竞赛复赛）图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成。质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）。液滴开始下落时相对地面的高度为h。设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器。忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响。重力加速度大小为g。若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势Vmax。

7．（2014·北约自招）如图所示，区域中一部分有匀强磁场，另一部分有匀强电场，磁场方向垂直于纸面向里，电场方向与电、磁场分界线平行向右。一带正电粒子从A点以速度v射入匀强磁场，方向未知，经过t1时间运动到磁场与电场交界处B点，此时速度方向垂直于两个场的分界线，此后粒子在电场力的作用下，经过t2时间从C点离开电场，已知磁场宽度与电场宽度分别为l1和l2，A与B点的水平距离为d，不计粒子的重力。

（1）求整个运动过程中粒子的最大速度；

参考答案

1．BD 【解析】在左球a到达c点的过程中，b球向上移动，重力与库仑力的夹角增大，其合力减小，由平衡条件可知，圆环对b球的支持力变小，A项错误；在左球a到达c点的过程中，两球之间的距离减小，外力做正功，电势能增加，B项正确；在左球a到达c点的过程中，a、b两球的重力势能之和变化，C项错误；撤除外力后，a、b两球在轨道上运动过程中系统的能量守恒，D项正确。

2．D 【解析】设圆形区域磁场的半径为r，磁感应强度的大小为B1时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M，（见图甲）由题意知∠POM＝120°，则该带电粒子在磁场中的运动轨迹是以PM为直径的圆。由几何关系得轨迹圆半径为，磁感应强度的大小为B2时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N（见图乙），由题意知∠PON＝60°，由几何关系得轨迹圆半径为

3．A 【解析】线框受到安培力F＝BIL，而E＝BLv，则，设安培力在Δt内对线框的冲量为ΔI，则ΔI＝，那么整个过程中安培力的冲量

4．C 【解析】设变压器的初次级线圈匝数之比为k，利用等效思想，将副线圈电阻R＝8Ω等效折成原线圈电路中的电阻为R′＝k2R，将40 kΩ等效为电源内阻，当内外电阻阻值相等时，可使扬声器获得最大的功率，即40 kΩ＝k2R，解得k≈70。

5．（1）I1－I2图线如图所示

（2）3．0 1．0

【解析】利用描点法绘出I1－I2图线。对电路，由闭合电路欧姆定律，E＝I1R0＋（I1＋I2）r，变化成，对比绘出的I1－I2图线可知0．5×10－3，联立解得r＝1．0Ω，E＝3．0 V。

【解析】设在某一时刻球壳形容器的电量为Q。以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器G出口自由下落到容器口的过程。根据能量守恒定律有

式中，v为液滴在容器口的速率，k是静电力常量。由此得液滴的动能为

从上式可以看出，随着容器电量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势。设容器的最大电量为Qmax，则有

【解析】（1）如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由于垂直从交界处进入电场，故在电场中做类平抛运动：

竖直方向：l2＝vt2

在离开电场时粒子的速度最大，由动能定理得

（2）设在磁场中做圆周运动所对应的圆心角为θ，由几何关系知l1＝R sinθ和d＝R（1－cosθ），

（3）在磁场中做圆周运动的时间

（作者单位：江苏省江阴市第一中学）