Hom-弱Hopf代数上的Hom-smash积

郑乃峰

(宁波大学理学院,浙江宁波 315211)

Hom-弱Hopf代数上的Hom-smash积

郑乃峰

(宁波大学理学院,浙江宁波 315211)

本文研究了在Hom-Hopf代数上引入Hom-弱Hop代数的问题.通过建立弱左H-模Hom-代数的方法,构造Hom-smash积,证明Hom-smash积是Hom-代数,且给出使之成为Hom-弱Hopf代数的充分条件,推广了由Bohm等人定义的弱Hop代数.

Hom-弱Hopf代数;弱左H-模Hom-代数;Hom-smash积

1 引言

代数形变理论现在已是代数学的重要分支之一.近年来作为代数另一类形变代数-Hom-代数的引入,引起了许多代数学者的关注.Hom-代数的概念是由Makhlouf和Silvestrov于2006年在研究拟李代数时引入的(见文献[1]).Hom-代数的引入实际上是推广了结合代数的概念,把结合代数中的结合性法则作了形变,将其变成了线性变换α结合性条件,即α(a)(bc)=(ab)α(c).随着Hom-代数研究的深入,一些学者在文献[2-5]中又陆续引入了Hom-余结合余代数、Hom-双代数和Hom-Hopf代数等,并给出了一些重要的性质.在文献[6,7]中,作者定义了Hom-ω-smash积和Hom-ω-smash余积,并分别研究了它们的拟三角结构和辫化结构.

弱Hopf代数是由Bohm 和Nill等人定义的(见文[8]),作为Hopf代数(见文[9])的推广,弱Hopf代数与Hopf代数有着相似的构成,只是用更弱的条件去代替余乘法运算的保单位性和余单位运算的保乘法性.因此,弱Hopf代数的结构远比Hopf代数复杂.

综合上述讨论,在弱Hopf代数上引入Hom-代数的结合性条件成为自然的问题,这也是写这篇文章的动机.在Hom-弱Hopf代数和模结构的基础上,建立弱左H-模Hom-代数的结构并通过它构造Hom-smash积,证明Hom-smash积是Hom-代数,且给出使之成为Hom-弱Hopf代数的充分条件.

2 Hom-弱Hopf代数

本文的所有工作都在域k上进行的.所讨论的张量积和线性映射均指域k上的.文中将使用Sweedler关于余代数余乘法的记号,即对于H中的任意元关于Hom-代数和Hom-余代数的概念请参阅文献[1-3].

定义 2.1[10]如果(H,µ,η,α)是一个Hom-代数,(H,△,ε,α)是一个Hom-余代数,且代数和余代数结构满足下列相容性

则称六元组 (H,µ,η,△,ε,α)为一个 Hom-弱双代数,并简记为 (H,α).

定义2.2[10]设(H,α)是一个Hom-弱双代数,S：H→H是一个线性映射,如果满足

则称(H,α)是一个Hom-弱Hopf代数,并称S是Hom-弱Hopf代数(H,α)的对极映射.

注2.3由(2.7)和(2.8)式,容易得到∑(x11S(x12))α2(x2)=α4(x)和∑α2(x1)(S(x21)x22)=α4(x).对于(2.9)式的合理性证明如下

注2.4Hom-弱Hopf代数既不满足结合律也不满足余结合律,但当扭曲映射α=Id时,它就是弱Hopf代数.但当余单位ε是代数映射时,Hom-弱Hopf代数就是Hom-Hopf代数.相对于(余)结合性,Hom-弱Hopf代数也有Hom-(余)结合性,即µ◦(α⊗µ)=µ◦(µ⊗α)和(α⊗△)◦△=(△⊗α)◦△.因此Hom-弱Hopf代数的非(余)结合性的程度是由扭曲映射α偏离恒等映射的距离决定的.关于Hom-弱Hopf代数的相关性质请参阅文献[10].

命题2.5设(H,α)是一个Hom-弱Hopf代数,且满足条件ε◦S=ε,则有如下结论

证对任意x∈H,有

同理可证=成立.

上面的命题说明S(HL)⊂HR和S(HR)⊂HL.由于α(1)=1,因此有∑α(11)⊗α(12)=∑11⊗12,所以有α(HL)⊂HL和α(HR)⊂HR.

命题2.6设(H,α)是一个Hom-弱Hopf代数,则有如下结论

证对任意x,y∈H,有

3 Hom-弱Hopf代数上的smash积

关于Hom-模、Hom-余模、Hom-模代数和Hom-模余代数的相关概念可参阅文献[5].下面,给出弱左H-模Hom-代数的概念.

定义3.1设(H,α)是Hom-弱Hopf代数,(A,β)是Hom-代数.如果有一个线性映射ρ：H⊗A→A,ρ(h⊗a)=h·a,使得对任意h,g∈H和a,b∈A,有下面条件成立

则称Hom-代数(A,β)是一个弱左H-模Hom-代数.若α=Id和β=Id,则弱左H-模Hom-代数是文献[11]中的一个弱左H-模代数.若(H,α)是Hom-Hopf代数,则弱左H-模Hom-代数是文献[5]中的一个左H-模Hom-代数.

本节设(H,α)是Hom-弱Hopf代数,其弱对极S是双射,(A,β)是弱左H-模Hom-代数,设=β⊗α.为方便,分别记1H为1,1A为.

(A,β)在(H,α)上的Hom-smash积(A#H,γ)是指带有下面乘法运算的向量空间A⊗HLH,运算规定如下

H通过乘法构成左HL模,A通过下面作用构成右H-模

引理3.2(A,β)在(H,α)上的Hom-smash积是一个带有单位元的Hom-代数.

证 对任意a,b,c∈A和h,g,k∈H,有

注3.3若α=Id和β=Id,则Hom-smash积是文献[12]中的smash积;若(H,α)是Hom-Hopf代数,则Hom-smash积是文献[6]中的Hom-smash积.

引理3.4设是一个Hom-smash积,则对任意a,b∈A和h,g∈H,下面关系式成立

证对任意a,b∈A和h,g∈H,有

定理3.5设(H,α)是Hom-弱Hopf代数,其弱对极为S,(A,β)是Hom-弱双代数.如果(A,β)是弱左H-模Hom-代数,并且对于任意h∈H,a∈A,下面条件成立

若此时(A,β)又是Hom-弱Hopf代数,其弱对极为SA,满足性质,则Hom-smash积也是Hom-弱Hopf代数,其弱对极为

证显然,Hom-smash积是Hom-代数和Hom-余代数.假设定理条件成立,证明Hom-smash积满足定义2.1的(2.1)-(2.5)项.对任意a,b∈A和h,g∈H,有

运用定理中的条件,可得如下关于余单位的弱乘运算

同理可得

由于对于任意的a∈A,x∈HL,有,因此有,又由于εH◦S=εH成立,因此由命题 2.5 可知S(HL)⊂HR和S(HR)⊂HL成立,所以有

同理可得

最后,设(H,α)和 (A,β)是Hom-弱 Hopf代数且由于

对于定义2.2中的(2.9)式,利用定义3.1中的(3.1)、(3.2)式和引理3.3及定理中的条件,有

注3.6如果线性映射α和β是恒等映射,即对任意的a∈A和h∈H,有γ(a⊗h)=a⊗h,则Hom-smash积是由文献[8]定义的弱Hopf代数,并可得文献[13]中的例1.8或文献[16]中的定理2.2.如果(H,α)和(A,β)是Hom-Hopf代数,则Hom-smash积是Hom-Hopf代数,并可得文献[6]中的例2.2.

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[2]Caenepeel S,Goyvaerts I.Monoidal Hom-Hopf algebras[J].Comm.Alg.,2011,39(6)：2216-2240.

[3]Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-algebras and Hom-coalgebras[J].J.Alg.Appl.,2010,9：553-589.

[4]Makhlouf A,Silvestrov S.Hom-Lie admissible Hom-coalgebras and Hom-Hopf algebras[A].Silvestrov S,Paal E,Abramov V,Stolin A,eds.Generalized lie theory in mathematics,physics and beyond[C].Berlin：Springer-Verlag,2009,189-206.

[5]Yau D.Hom-bialgebras and comodule Hom-algebras[J].Inter.Elect.J.Algebra,2010,8：45-64.

[6]郑乃峰.Hom-ω-smash积Hopf代数的拟三角结构[J].数学年刊,2013,34(6)：689-708.

[7]郑乃峰.Hom-ω-smash余积Hopf代数上的辫化结构[J].数学物理学报,2013,33(6)：1068-1088.

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[14]郑乃峰.弱Hopf代数上的混合积[J].数学年刊,2010,31(6)：757-768.

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HOM-SMASH PRODUCTS OVER HOM-WEAK HOPF ALGEBRAS

ZHENG Nai-feng
(College of Science,Ningbo University,Ningbo 315211,China)

In this paper,we study the concept of weak Hopf algebras over Hom-Hopf algebras. Using the method of establishing weak leftH-module Hom-algebras,we construct Hom-smash product and demonstrate that Hom-smash product is a Hom-algebra and Hom-weak Hopf algebra,which generalizes weak Hopf algebra introduced by Bohm etc..

Hom-weak Hopf algebra;weak leftH-module Hom-algebra;Hom-smash product

on：16W30;16E10

O153.3

A

0255-7797(2017)04-0871-10

2015-7-31接收日期：2015-11-25

国家自然科学基金资助(60873267);宁波自然科学基金资助(2011A610172).

郑乃峰(1968-),男,浙江慈溪,副教授,主要研究方向：Hopf代数及量子群.