一类推广的KdV方程的新行波解

王 鑫,邢文雅,李胜军

(海南大学信息科学技术学院,海南海口 570228)

一类推广的KdV方程的新行波解

王 鑫,邢文雅,李胜军

(海南大学信息科学技术学院,海南海口 570228)

本文研究了一类推广的KdV方程的行波解求解的问题.利用新的G展开法,并借助Mathematica计算软件,获得了该方程的含有多个任意参数的新的行波解,分别为三角函数解、双曲函数解、有理函数解和指数函数解,扩大了该类方程的解的范围.

推广的KdV方程;新的G展开法;行波解

1 引言

本文研究一类推广的KdV方程

其中00,b/0均为参数.当δ∈R,a＞0,b＜0时,Dey求出了该类方程的守恒律和域墙波解[1];在相同条件下,方程的孤波解的存在性在文献[2]中用动力系统分支法得到了证明;通过利用推广的齐次平衡法和吴氏消元法,文献[3]得到了方程的孤波解的解析表达式;文献[4]通过相似约化,研究了方程的相似解;文献[5]用首次积分法得到了方程的精确解.

近年来,对于非线性偏微分方程的精确解的研究,又涌现出例如双曲函数展开法、Jacobi椭圆函数法、Riccati展开法、F展开法、齐次平衡法、首次积分法等方法和技巧.最近,王明亮等又提出了一种简洁、有效地求方程精确解的方法,展开法[6-8],即将方程的行波解用的多项式来表示,并且其中的G满足一类二阶线性常微分方程,结合齐次平衡法得到了方程的精确行波解.

2 新的G展开法

对于非线性偏微分方程

作行波变换,令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct,使上式化为常微分方程

设方程(2.2)的解有如下形式

这里ai(i=0,1,2,···),m为待定常数,其中非负整数m可通过齐次平衡法,即平衡最高阶非线性项和最高阶线性项得到;G=G(ξ)满足二阶非线性常微分方程

这里ρ、λ、µ及ω均为任意常数.通过借助Mathematica软件,可以求得该方程的解有以下几种情况

① 当ρ/-λ,ρ/0且4ω(ρ+λ)-µ2＞0时,方程(2.4)的解为

这里C1、C2为积分常数.

② 当,0且4ω(ρ+λ)-µ2＜0时,方程(2.4)的解为

这里C1、C2为积分常数.

③ 当ρ/-λ且4ω(ρ+λ)-µ2=0,方程(2.4)的解为

这里C1、C2为积分常数.

④ 当ρ=0且0时,方程(2.4)的解为

这里C1、C2为积分常数.

⑤ 当ρ=-λ/0且µ=0时,方程(2.4)的解为

这里C1、C2为积分常数.

结合上述(2.4)方程的解,再将(2.3)式代入(2.2)式,合并且比较的各项系数,可得到一组有关ai的代数方程组,求出其解,代回(2.3)式,即得原非线性偏微分方程(2.1)的精确解.

3 方程的行波解

设方程(1.1)有行波解u=u(ξ)=u(x-ct),其中c表示波速,是一常数,则方程可化为

两边关于ξ进行积分,并令积分常数为零,化简得

设方程(3.1)的解能够表示成多项式(2.3)式,再利用齐次平衡法,得到,不是整数,故对方程(3.1)作变换,令v=u2,从而方程(3.1)化为

设方程(3.2)的解能够表示成多项式

这里G=G(ξ)满足二阶非线性常微分方程

其中ρ、λ、µ及ω均为任意常数.利用齐次平衡法,有m+m+2=4m或2(m+1)=4m,得m=1.则方程(3.2)的解表示为

由方程(2.4)和(3.3)式,可得

再将(3.3)式和上面的v′和v′′代入(3.2)式,合并的同幂次项,比较方程两端的系数,得

用Mathematica软件对以上代数方程组进行求解,可得

将(3.4)式代入(3.3)式,故得

又由v=u2,且令θ=ρ+λ+µ+ω,这时有

其中G满足方程(2.4),从而得到了推广的KdV方程(1.1)的多个隐式行波解：

① 当且4ω(ρ+λ)-µ2＞0时,由(2.5)式,可得方程(1.1)的解为

② 当ρ/-λ且4ω(ρ+λ)-µ2＜0时,由(2.6)式,可得方程(1.1)的解为

③ 当ρ/-λ且4ω(ρ+λ)-µ2=0时,由(2.7)式,可得方程(1.1)的解为

此为方程的有理函数形式的解.

④ 当ρ=-λ/0且0时,由(2.8)式,可得方程(1.1)的解为

此为方程的指数函数形式的解.

⑤ 当ρ=-λ/0且µ=0时,由(2.9)式,可得方程(1.1)的解为

4 结论

本文借助计算机Mathematica软件,运用新的G展开法,即展开法,得到了一类推广的KdV方程的多种新的隐式行波解,其中包括双曲函数解、三角函数解、有理函数解和指数函数解.这些精确行波解都含有多个自由的参数,当这些参数在一定的条件下取不同数值时,我们可以得到方程更为丰富的解.

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NEW TRAVELLING WAVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF THE GENERALIZED KdV EQUATION

WANG Xin,XING Wen-ya,LI Sheng-jun
(College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

In this paper,a class of the generalized KdV equation is studied. By newG-expansion method with the aid of computer symbolic system Mathematica,some new travelling wave solutions which involving parameters are obtained.These solutions contain the hyperbolic function solutions,the trigonometric function solutions,the rational function solutions and the exponential function solutions. The solutions of a class of the generalized KdV equation are enriched.

the generalized KdV equation;newG-expansion method;travelling wave solution

on：35C07;35Q53

O175.29

A

0255-7797(2017)04-0859-06

2015-06-12接收日期：2015-10-19

国家自然科学基金资助(11461016).

王鑫(1980-),女,北京,讲师,主要研究方向：非线性偏微分方程及其应用.