基于Gumbel Copula的高可靠性结构系统分析

吴金华，何军

（上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海200240）

基于Gumbel Copula的高可靠性结构系统分析

吴金华，何军

（上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海200240）

提出了一种基于Gumbel Copula的高可靠性结构系统失效概率计算方法.该方法采用移位广义对数正态分布（SGLD）来估计结构反应的边缘分布，采用Copula函数来估计系统反应的联合分布函数，而Copula函数的参数估计采用矩方法.采用本文发展的方法，分析了地震作用下六层钢框架结构系统的可靠度，结果表明该方法不仅可以给出精确的结构反应边缘分布和联合分布表达式，而且具有较高的数值精度和计算效率.

Copula函数；系统可靠度；移位广义对数正态分布；概率分布；参数估计

结构系统可靠度分析是结构安全评估及设计的基础，高可靠性问题是可靠度分析中的核心问题.针对这一问题的研究，人们已经发展出了多种方法，包括一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、稀疏网格法、响应面法以及神经网络法等[1-6].这些方法适用于处理低维度的可靠度问题，对于高维结构系统的可靠度，其精度和效率均无法达到工程要求.目前，常用的系统可靠度分析方法主要有数值模拟方法和边界法.数值模拟方法包含蒙特卡洛方法、重要抽样法[7]、子集模拟法[8-9]、线抽样法[10]、方向抽样法[11]等.这些方法的计算精度需要通过抽样次数来保证，对于高可靠性问题，其效率低下.边界法主要包含二阶窄边界法[12]、三阶窄边界法[13]、线性规划边界法[14]等，此3种方法由于各自应用范围和效率的缺陷，均无法满足高可靠性结构系统的分析要求.

基于以上现状，对于高可靠性结构系统可靠度分析还缺少非常有效的方法.本文提出了一种基于Gumbel Copula模型的系统可靠度分析方法，该方法采用SGLD模型估计结构反应的边缘分布，采用矩方法估计Copula模型的参数.一个6层钢框架结构系统的地震响应分析说明了本文所建立方法的有效性和精确性.

1 Copula函数及其模型建立

Copula由Sklar[15]提出，是一种将多维随机变量的联合分布用其一维边缘分布表示的函数.Copula函数最早被应用于金融分析领域，近年来逐渐被应用于结构可靠度和工程抗震、气象和水文、统计和环境等诸多领域.多元Copula函数的定义如下：

定义1n维Copula是定义域为[0，1]n，值域为[0，1]的函数，即C[0，1]n→[0，1]，且满足下列条件：

1）对任意u∈[0，1]n，如果存在某个分量uk=0（k=1，2，…，n），则C（u）=0；

2）对任意u∈[0，1]n，如果存在u1=…=uk-1=uk+1=un=1，则C（u）=1；

3）对于定义域[0，1]n中的任意2个向量，令

如果a≤b，那么VC（[a，b]）≥0.其中VC（[a，b]）称为[a，b]的C容积.

定义2（n维Sklar定理）[15]设H是边缘分布为u1，u2，…，un的n维联合分布函数，那么一定存在一个Copula函数C，对于任意的x∈Rn，有

如果u1，u2，…，un是连续的，那么C是唯一的；否则，C在Ran（u1）×…×Ran（un）上是唯一的.反之，如果u1，u2，…，un是分布函数，则C（u1（x1），u2（x2），…，un（xn））是一个联合分布，且其边缘分布为u1，u2，…，un.

构造Copula函数有很多方法，包含几何方法、代数方法、用Archimedean族[15]的生成元构造等.其中单一参数的Archimedean Copula函数构造简单，适用性强且具有较好的性质，是工程结构可靠度分析中非常适用的方法，尤其是Gumbel Copula对串联系统具有较好的适用性[16].

Gumbel Copula的表达式如下：

式中：ui，i=1，2，…，n表示结构反应的边缘分布函数；θ是Gumbel Copula的模型参数.

由式（3）可知，Copula函数的建模包含2个过程，即边缘分布模型的建立和Copula函数的参数估计.下面详细介绍这2个过程.

2 Copula函数的边缘分布建模及参数估计

2.1 Copula函数的边缘分布建模

由于移位对数正态分布模型可以用来考虑不同的偏态系数的函数，指数幂分布模型可以用来考虑不同的峰度系数的函数，通过结合移位对数正态分布模型和指数幂分布模型可以得到广义移位对数正态分布（SGLD）模型，该模型可以考虑广阔的偏态-峰度系数空间，进而模拟各种不同的函数类型[17].

本文采用SGLD模型来估计结构系统反应的边缘分布，其PDF表达式如下：

其中：σ、r为型参数；b为位置参数；θ为尺寸参数.

广义对数正态分布的CDF表达式如下：

2.2 SGLD模型的参数估计

SGLD模型的参数估计常采用矩方法，该方法具有较高的精度，应用广泛.SGLD的CDF表达式中Y的均值μy、方差偏态系数γy和峰度系数κy可以通过其原始矩E[Yk]求得.

这里，σ、r为未知的模型参数.由于偏态系数γy和κy峰度系数都是型参数σ、r的函数，且Y=（X-b）/θ的变量变换并不改变偏态系数峰度系数的数值，因此可以得到如下关系式：

该关系式可以表达如下：

其中，μ为未知向量[σ、r]T.由于γX和κX可通过对随机变量的样本进行统计得到，通过求解式（9）可以得到未知变量σ、r.

在σ、r已知的情况下，通过如下关系式可以求解θ、b：

这里，μY和σY可以由型参数σ、r代入式（6）求得；μX和σX可以通过对随机变量进行样本统计得到.下面主要问题是求解μ.

为求得向量μ，用牛顿迭代方法求解式（9），迭代公式：

其中

3 Copula函数的参数估计

Gumbel Copula是一种工程中常用的Copula函数，对于本文采用的单一参数多变量Gumbel Copula，主要需要估计其参数.由文献[18]可知，矩方法对阿基米德型Copula的参数估计具有较好的适用性，矩方法的基本思想是对于已知的充足样本数，让基于样本的Kendell’s tau与基于总体的Kendell’s tau相等，进而通过等式计算求解出Copula参数.相比于传统的最大似然法，基于Kendell’s tau的参数估计方法更简单和灵活，具有更高的效率，对于单参数阿基米德型Copula具有很好的适用性[16].本文中阿基米德型Copula参数估计所需样本可由用于SGLD模型估计参数时的反应样本得到.

对于n维Gumbel Copula Cθ（u），u=（u1，u2，…，un），其样本一致性系数Kendell’s tau的计算公式为[79]：

若样本数N已知，该公式可以简化如下：

对于n维Gumbel Copula C（θu），u=（u1，u2，…，un），其总体的Kendell’s tau在n维串联系统模型中的计算公式如下：

4 基于Copula函数串联结构系统的联合失效概率

对于n维串联结构系统[19]，系统中任意一个元件的失效均会导致整个系统失效，其失效概率的计算公式如下：

式中：xi表示串联结构系统中第i个元件的反应值；δi表示第i个元件反应的极限值.由Copula函数的定义[15]可知，上式可用Copula函数表述如下：

5 算例研究

为了检验本文所提出方法的计算精度和效率，本算例考虑一个如图1所示的遭受水平方向地震作用的6层抗弯钢框架.结构构件的截面形式如表1所示，各楼层的水平地震荷载如图1所示.假设水平地震荷载为相互独立的对数正态分布随机变量，其均值从顶部的750 kN线性变化到底部的0，而变异系数均为δF= 0.2.假设所有构件的弹性模型E为对数正态分布随机变量，均值μE=200 kN/mm2，变异系数δE=0.1.在本例中，7个基本输入随机变量分别为水平地震荷载F1，…，F6及弹性模量E.构件的失效概率定义为相应框架柱层间位移比θ大于层间位移比限值θC的概率，构件的功能函数为：

其中的θ（F1，…，F6，E）代表构件的层间位移比.对于该串联结构体系，假设任意一个框架柱失效结构就失效，则结构失效概率可表示为

其中的θi，i=1，2，…，24代表第i根框架柱的层间位移比.

图1 六层钢框架结构分析模型Fig.1 A six-story steel-frame structure model

由基于3 000个样本的矩方法可以估计出结构反应边缘分布的SGLD模型尾部分布的近似值.图2绘出了由反应X5和X6的尾部分布（SGLD）以及由基于30 000个样本由Monte Carlo方法得到的尾部分布值.图2表明：在X5和X6分布的中段，由矩方法得到的SGLD给出的超越概率与Monte Carlo结果几乎一致，而在X5和X6分布的尾部，基于30 000个样本的Monte Carlo方法不能给出相应的超越概率，但由矩方法得到的SGLD可以给出相当合理的结果.因此，基于矩方法的SGLD模型是可用于本结构反应分布的尾部估计的.

图2 反应X5和X6的尾部分布Fig.2Tail distributions of X5and X6

表1 框架构件截面形式Tab.1 Section for frame members

通过估计SGLD模型参数的3 000个样本可以计算Gumbel Copula的参数值，其中，τˆn=0.738 0，θ=10.42.由此，可以确定结构反应联合分布的Gumbel Copula，并得到本例所考虑结构体系的微小失效概率.结构体系微小失效概率的计算结果见图3，图3还给出了由基于30 000个样本的Monte Carlo方法的计算结果.图3中坐标系的横轴表示各层的弹性位移比限值，纵轴表示结构微小超越概率.图3表明：由Gumbel Copula得到的失效概率与Monte Carlo模拟结果几乎完全吻合，说明Gumbel Copula是结构可靠度分析的可靠方法，其计算效率是Monte Carlo方法的5～10倍.

图3 结构体系的微小失效概率Fig.3 Small failure probabilities of the structure

6 结论

本文建立了一种基于Copula函数和SGLD模型的结构系统可靠度分析方法，通过一个6层钢结构系统的可靠度分析，验证了本文所建立方法的有效性和精确性.

本项研究的主要结论为：

1）结构系统反应的分布尾部可由SGLD模型来近似，而矩方法可以精确地估计SGLD模型参数.

2）Gumbel Copula可被用于高维结构系统可靠度评估中的联合失效概率计算，该方法的计算精度比Monte Carlo方法高，其计算效率是Monte Carlo方法的5～10倍.

3）本文方法需要利用一定容量的反应样本来估计的SGLD模型和Copula模型的参数，反应样本可由Monte Carlo方法生成，样本容量可以在3 000～5 000之间.

4）本文方法适用于大多数具有确定性解的工程结构可靠度分析，同时对其他类型Copula函数的应用具有重要的参考价值.

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[责任编辑 杨屹]

Estimation of the reliability of structural system based on Gumbel Copula

WU Jinhua，HE Jun

（College of Naval Architecture,Ocean and Civil Engineering,Shanghai Jiaotong University,Shanghai 200240,China）

This paper aims to propose a method to estimate the failure probability of high reliability structural system based on Gumbel Copula.The marginal distributions of responses of structures are modeled by the shifted generalized lognormal distribution(SGLD)and the joint distribution is obtained by Copula functions.The parameter of Copula functions required can be estimated by the moment method.With this method,the estimation of reliability of a six-story steel frame structure system under earthquake loads shows that the marginal distribution expressions and joint distribution expressions of responses of structure system can be accurately given by the proposed method and the numerical precision and calculation effectiveness are high.

Copula function;the reliability of structural system;the shifted generalized lognormal distribution;probability distribution;parameter estimation

O241/O242

A

1007-2373（2017）03-0094-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.03.017

2016-12-26

上海市自然科学基金（16ZR1417300）；教育部留学回国人员启动基金（14Z102050011）.

吴金华（1990-），男，硕士研究生，wjhsjtu@yeah.net.通讯作者：何军（1968-），男，副教授，博士，junhe@sjtu.edu.cn.