延期支付下考虑时变需求的最优订货策略研究

黄敏+魏晔纯

摘要：本研究为了零售商确定其在一个有限的时间范围内的最优补货数量和补给计划，而提出了一个经济订货批量模型。零售商的需求率是与时间有关的，当零售商的订货量超过给定的预先规定的数量的时候，供应商对零售商提供交易信用。为了使得零售商的利润最大化，当需求率是一个广义函数时，可以建立一个数学模型，并采用与订单数量有关的的交易信用，通过分析零售商的利润函数，我们计算出一些有用的结果来确定最优解决方案。最后假设需求为函数方程时对模型进行数值分析，获得零售商最优利润下的最优订货量和订货周期。

Abstract： This study presents a deterministic economic order quantity model for a retailer to determine its optimal replenishment number and replenishment schedule in a finite time horizon. The retailer's demand rate is time dependent and the supplier offers a trade credit to the retailer when the retailer's order quantity exceeds a given pre-specified quantity. To maximize the retailer's profit， a mathematical model is developed when the demand rate is a generalized function of the time and the trade credit linked to order quantity is adopted. By analyzing the retailer's profit function， we develop some useful results to characterize the optimal solution and provide an iterative algorithm to find the replenishment schedule and the retailer's order quantities. Numerical example with demand function are presented to validate the proposed model， and find optimal profit with the optimal oeder quantity and replenishment schedule.

关键词：经济订货批量；库存；时变需求；交易信用

Key words： economy order quanntity；inventory；time-varying demand；permissible delay in payment

中图分类号：F274 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）20-0065-04

0 引言

产品的需求是最影响生产和库存管理重要的因素之一。在最近的库存研究中，根据其变化趋势有三种需求率。第一，需求率是时间的递增函数，这表明产品的需求在增长阶段和成熟阶段。例如，需求率是关于时间的线性递增函数[1-2]。第二，需求量是时间的线性递减函数，这表明了产品的成熟和衰退状况，例如，需求率是关于时间的线性递减函数[3-4]。第三，需求率是一个斜坡式函数，这表明了产品的需求变化与他们的生命周期有关，也就是说，在产品的成长阶段其需求增加，然后在产品的成熟阶段其需求变得稳定，产品的衰退阶段其需求减少。比如，需求率是一个斜坡式的二次需求函数[5-6]。近年来，假设需求函数是关于时间的一个广义函数，hung[7]提出了一个允许部分短缺量延后的库存模型。上述所有的模型都是建立在产品货到后立即付清的情况下。

自从Goyal[8]将交易信用引入经典的经济批量模型，延期支付已经成为近年来的热门话题。主要研究结果一般可以分为两类。一是信用期限与订单数量无关，这意味着供应商向零售商提供稳定的信用期只要零售商订购产品[9-10]。其二，供应商将根据零售商的订货量为其提供三个交易信用的选择。当零售商的订单数量大于预测值，供应商给予零售商延期支付的优惠政策[11-13]；当零售商订购的产品价值超过一定额度时，供应商给予根据零售商订货额给予一定的长度延期支付的信用期限[14-15]；当零售商的订单数量大于预测值，所有的支付都是按照供应商给予的延期支付的条件进行，即一定比例的订单需要零售商立即付款，剩下的由交易信用策略进行支付[16-18]。

一些研究人员已经将与时间有关的需求率和交易信用策略加入建立了库存模型。例如，Dye[9]提出了交易信用的策略下的多个订单模型，其中需求是关于时间和价格的二元函数。Balkhi[19]假设需求率的指数函数，在交易信用策略下建立了一个模型，其中每个周期的需求函数有不同的比例系数和弹性系数，而且弹性系数和信用周期长度是不同的。Teng，Min和Pan[1]提出了一个需求率是一个单信用下的非减函数函数的模型。Das， Roy和Kar[20]假设需求依赖于即时库存水平，讨论了供应商综合价格折扣和交易信用策略的问题。

本文建立了有限的时间范围的内多个订单的库存模型。在该模型中，需求率是一个关于时间和基于订单数量的信用周期的广义函数，比如说，如果订单数量比预测值要更大，零售商可以获享受延期支付，否则必须立刻支付。这样做的目的是为了确定最优的补货计划和订单数量使得零售商的利润最大化。通过分析这个模型，可以是用下面的一些理论结果表明最优解决方案，而且通过迭代搜索算法也可以最优的订货策略。最后，为了验证模型和算法，使用數值例子进行仿真实验。

1 建立模型

1.1 符号描述

p：单位产品的销售价格

c0：单位产品的购买价格

h：单位产品的单位时间的库存成本（不包括库存占有资金成本）

ti：第i+1个补货时间

Ti：第i个补货周期

Ii（t）：第i时刻的库存水平

qi：第i个补货周期订单数量

θ：库存变质率

Ie：单位库存单位时间的利息收益

Ic：单位库存单位时间的利息支付

W：每笔订单允许延期支付的数量

M：交易信用的期限

1.2 假设

①时间有限且为H，提前期时间为0，不存在缺货情况；

②产品的需求率是广义函数D（t）且D（t）>0，t∈（0，H）；

③如果订货数量少于预测数量值，即qi

④在交易信用期限内[ti-1，M+ti+1]，账户未结算，销售收入存入一个计息账户，在这一时期结束时，零售商得到所有购买的产品，并开始支付库存产品占用的资金成本。

1.3 模型公式

由上述符号和假设可知，在第i个周期的时间点t的库存水平为Ii（t）：

=-θIi（t）-D（t），ti-1？燮t？燮ti

当Ii（ti）=0时

Ii（t）=D（x）eθ （x-t）dx，ti-1？燮t？燮ti

订单数量可由此确定

qi=Ii（ti-1）=D（x）edx

零售商的利润包括下面的因素

销售收入：Pi=pD（x）dx

购买支出：Ci=c0qi=c0D（x）edx

库存持有成本：Hi=hIi（x）dx=Di（x）（e-1）dx

利息收入IEi，利息支出ICi，讨论以下两种情况

①当qi

IEi0=0

ICi0=c0IcIi（x）dx=D（x）（e-1）dx

②当qi？叟W时，允许延期支付，利息的收取和支出与交易信用和信用期限有关

情况1：ti

IEi1=pIeD（x）（M+ti-1-x）dx

ICi1=0

情况2：ti？叟ti-1+M时

IEi2=pIeD（x）（M+ti-1-x）dx

ICi2=D（x）（e-1）dx

因此，在时间段[ti-1，H]内，可以对零售商的利润做如下定义

πi（ti）=πi0（ti），qi

其中

πi0（ti）=（p+）D（x）dx-（c0+）D（x）edx-D（x）（e-1）dx

πi1（ti）=（p+）D（x）dx-（c0+）D（x）edx+pIe（M+ti-1-x）D（x）dx

πi2（ti）=（p+）D（x）dx-（c0+）D（x）edx+pIe（M+ti-1-x）D（x）dx-D（x）（e-1）dx

本文的目的是为了求出最优的补货时间ti，且ti-1

（P）max π（t1，…，tm）s.t. 0=t0

2 分析與求解

考虑到目标函数的复杂性，我们采用下面的方法来求解这个模型，假设已知t0…ti-1，我们在时间间隔[ti-1，H]中对利润πi（ti）进行最大化。为了方便，我们将ti和πi（ti）分别用t和πi（t）来表示。

注意对于任意的x>0来说D（x）e>0，我们有一个增函数qi（t）=D（x）edx。由于qi（ti-1）=0，所以qi（t）=W存在一个解叫做t。

根据qi和W之间的关系，可以讨论一下两种情况：

2.1 当qi

当t

π（ti）=θ-1D（t）[（θp+h+c0Ic）-（θc0+h+c0Ic）e]

第一个利润πi0（t）最大化的一阶必要条件是π（t）=0，即

（θp+h+c0Ic）-（θc0+h+c0Ic）e=0（1）

因为p>c0，则有存在唯一的t满足公式（1），把它称为t，所以

t=ti-1+ln （2）

因此，当t0，当t>t时π（t）<0。这表明了

t是πi0（t）的最大点。

定理1. 在{ti-1，ai]中，令t为πi0（t）的最大点，我们可以得出以下结论

①如果t？燮ai，则t=t；

②如果t>ai，则t=ai。

证明：从式子（2）可得，在区间[ti-1，t）中π（t）>0，所以πi0（t）是增函数。在区间（t，ai]中，所以πi0（t）是减函数。根据上述分析，我们可以知道，如果t？燮ai，则t=t；如果t>ai，则t=ai。

2.2 当qi？叟W时，目标函数的最优解分析

当t？叟t时，允许延期支付。根据交易信用和信用周期来分下面两种情形进行讨论。

2.2.1 当t

在这种假设下，t满足t？燮t

π（t）=D（t）E（t）（3）

其中

E（t）=（p+）+pIe（M+ti-1-t）-（c0+）e

由于D（t）>0，那么满足π=0的一阶必要条件条件是

E（t）=0（4）

由于E'（t）=-pIc-（θc0+h）e<0，我们可以得到E（t）是一个减函数。

定理2.在区间[t，bi]中，令t是πi1（t）的最大点，我们就可以得到下面的结论

①如果E（t）<0，则t=t；

②如果E（t）？叟0且E（bi）<0，则t=t，其中t是公式（4）在[t，bi]的唯一解，如果E（bi）？叟0，则t=bi。

证明：由于E（t）是减函数，如果E（t）<0那么在区间[t，bi]中E（t）？燮E（t）<0，这表明π（t）=D（t）E（t）<0，πi1（t）依然是个减函数，那么t=t。

由于E（t）？叟0且E（bi）<0，那么E（t）=0存在唯一解t。当t？燮t时E（t）？叟0，那么π（t）？叟0。当t

由于E（t）是减函数，如果E（bi）？叟0那么在区间[t，bi]中E（t）？叟E（bi）？叟0，这表明π（t）？叟0，πi1（t）是个增函数，那么t=bi。

2.2.2 当ti？叟ti-1+M时，目标函数最优解

在这个情形中，t满足不等式ci？燮t？燮H，其中ci=max{ti-1+M，t}，对πi2（t）求导得到：

π（t）=θ-1D（t）[（θp+h+c0iC）-（θc0+h+c0Ice-θM）e]（5）

由于D（t）>0，利润最大化的一阶必要条件为π（t）=0，等价于

（θp+h+c0IC）-（θc0+h+c0Ice-θM）e=0（6）

因为p>c0，所以只有唯一的t满足公式（6），即t

t=ti-1+ln （7）

定理3.令t是πi2（t）在[ci，H]上最大的点，我们可以得到以下的结论

①如果t？燮ci，那么t=c；

②如果ci

③如果t>H，那么t=H。

2.3 解决问题（P）的算法

第一步：输入参数，令t0=0，i=1；

第二步：解出qi（t）=W，计算ai=min{t，H}，bi=min{ti-1+M，H}，ci=max{ti-1+M，t}；

第三步：解出公式（2），t0=min{t，ai}，计算π（t）；

第四步：如果t=bi，设t=0，π（t）=0，另外，如果E（t）<0则t=t。如果E（t）？叟0，且E（bi）<0，则如公式（4）给出的t=t。如果E（bi）？叟0，则t=bi，计算π（t）；

第五步：如果ci>H，设t=0，π（t）=0。另外，如果t？燮c，则t=ci，如果ciH，则t=H，其中t由公式（7）给出。计算π（t）；

第六步：计算ti，它满足πi（ti）=max{π（t），π（t），π（t）}；

第七步：如果ti

第八步：输出t1，t2，…，tm，π=π1+π2+…+π3。

3 数值分析

再单级供应链库存模型中，基本参数设置如下：单一的零售商向供应商订购某产品，其中当产品订购量达到一定数量后W=150，p=12元/单位，co=10元/单位/年，h=3元/单位/年，Ie=0.12/元/年，Ic=0.18/元/年，M=0.62年，θ=0.12，H=3年，假设需求是关于时间的二次函数，来证明提出的模型和算法。

当需求率是关于时间的二次函数，D（t）=atn（H-t）s，其中a=200，n=1.8，s=0.6，最优订货策略如表1所示。

由表1我们可以得出，当产品需求为增长-平稳-下降的趋势，当3？燮i？燮6时，订货量qi是高于预设值W，此时零售商能够获取延期支付的优惠政策。且在第四和第五个周期是高于延期支付的信用周期的，第三和第六个周期小于延期支付的周期。且各个周期的最优利润是先增加在急剧降低的。

4 总结

在以往的订货策略模型的研究中我们往往假设需求率固定，然而，当今時代的迅速发展，产品更新换代速度快，需求的变化性越发显著，因此本文具有一定的研究价值，此外，在现实市场中，供应商为了增加销售量减少库存压力，往往会给予零售商一定的优惠政策，延期支付就是其中一项，本文考虑延期支付情况下的零售商订货策略研究更加贴近现实。在本论文中，研究了允许延迟支付的情况下，随着一般时变需求率的恶化的产品的多个订单模型。这是对Hung的模型的扩展，其中的模型包含了与延期支付挂钩的订货量，例如零售商的订货量高于预设值，那么允许延期支付，否则必须立刻支付。通过分析，我们提出了几个理论结果品质最优的解决方案。提供了一个迭代算法来搜索最优订购策略，给出了数值例子来例证提出的模型。在未来的研究中，我们可以还考虑时变需求、商品积压或缺货、易逝品的零售商订货策略研究。

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