END样本最近邻密度估计渐近正态性的收敛速度

李艺璇

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)



END样本最近邻密度估计渐近正态性的收敛速度

李艺璇

(湖北大学数学与统计学学院,湖北 武汉 430062)

在END样本下研究最近邻密度估计的渐近正态性.在适当的条件下给出最近邻密度估计渐近正态性的收敛速度,这个速度几乎达到n-1/2.

END序列;最近邻密度估计;渐近正态性

0 引言

END的概念是Lin[2]于2009年提出的，是一类比NOD[3]更弱的相依变量,不仅可以取为负相依,还可以取为正相依, 在保险与金融数学、复杂性系统、可靠性理论、生存分析等领域都有着广泛的应用,因此对其进行研究具有重要的理论意义和应用价值. 如Chen等[4]建立了END变量的一个强大数定律,并且给出了在风险理论和更新理论中的应用. 近几年来国内外的学者对相依样本有关渐近正态性进行了一定的研究,如:Roussas[5]研究了NA样本下随机场的分布函数的光滑估计的渐近正态性, 李永明等[6]给出了NA样本密度函数估计一致渐进正态性的收敛速度,Roussas[7]得到了NA样本下的密度函数核估计的渐近正态性等等．笔者在END样本下研究最近邻密度估计的渐近正态性.在适当的条件下给出了最近邻密度估计渐近正态性的收敛速度.

1 基本假设

首先我们给出一些假设条件

1) 设X1,X2,…,Xn是平稳的END随机变量序列,具有未知概率密度函数f(x).

(1)

其次给出一些记号.

设{εni,1≤i≤n}是同分布的END随机序列,

利用大(p)、小(q)块分割原理,Sn可分解为

记Fn(u)=P(Sn

2 引理

为了证明本文中的定理,先给出几个引理.

引理2 设{Xi,i≥1}是END序列, 对任意的实数t1,…,tn,有

引理2的证明 由文献[8]的定理,直接可得.

引理3的证明 由文献[11]可知END序列满足M-Z型矩不等式,当r>1有

若1

所以就有

引理4 设条件1)、2)、3)成立.那么有

(2)

因此有Minkowski不等式就有

另一方面

所以就有

(3)

(4)

(5)

由引理1有

P(|S″n|≥μn)≤C{n-1+(n2p-1q)-δ/2(lognloglogn)(δ-2)/2}

(6)

P(|S‴n|≥νn)≤C{n-1+(np)-δ/2(lognloglogn)(δ-2)/2}

(7)

ξnj=-dnI(ζnj<-dn)+ζnjI(|ζnj|≤dn)+dnI(ζnj>dn),

由Markov不等式和引理3有

所以

P(|S″n|≥μn)≤C{n-1+(n2p-1q)-δ/2(lognloglogn)(δ-2)/2}

(8)

同理可得

P(|S‴n|≥νn)≤C{n-1+(np)-δ/2(lognloglogn)(δ-2)/2}

(9)

引理8 设{ζn,n≥1}和{ηn,n≥1}是两个随机变量序列,{γn,n≥1}是正常数列,且γn→0.如果

那么对于任意的ε>0,有

(10)

引理8的证明 设A={ζn+ηn

P(A)=P(A1∩A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1∪A2).

因此有

P(ζn

3 主要结果及证明

((n2p-1q)-δ/2+(np)-δ/2)(lognloglogn)(δ-2)/2}

(11)

(12)

所以

(13)

再用引理7和引理8,定理1得证.

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(责任编辑 赵燕)

The rate of asymptotic normality for nearest neighbor estimation of density function under extended negatively dependent samples

LI Yixuan

(Faculty of Mathematics and Statistics, Hubei University, Wuhan 430062,China)

The asymptotic normality of nearest density estimator for extended negatively dependent samples is discussed. Under suitable conditions, the rate of the asymptotic normality nearly can get up ton-1/2.

extended negatively dependent; nearest neighbor density estimator; asymptotic normality

2016-07-07

李艺璇(1993-),女，硕士生

1000-2375(2017)04-0423-06

O212.2

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.04.016