三、四、五边形的数学奇迹

Jacob

著名的科学普及和数学普及作家马丁·加德纳（Martin Gardner，1914～2010），他的铁杆“粉丝”们依然持续举办着两年一度的邀请制的“加德纳聚会”，而其他的任何人（任何地方）在每年十月都可以举办或参加叫做“头脑庆典”的活动。更重要的是，因为不断提出加德纳难题的新解法和改进旧解法，人们不断地超越自己，突破自己。

接下来，我们怀着轻松的心情，回顾一下加德纳的关于二维平面上图形“剖分”与“平铺”的问题——这些曾让大家激动不已的谜题的突破历程。值得一提的是，下面有一些结果还是最近才发现的，这让人非常开心，由此证实了加德纳的观点——好玩的数学能真真正正产生持续不断的研究，更能成为满足好奇心和创造新思想的跳板。

三角形和正方形

“剖分”问题就是把熟悉的图形切开，形成若干个有趣的更小的碎片的问题，而“平铺”问题则要处理与之相对的概念，是用大量的某一种或几种特定的小图形来填满一大片空间的问题。

这是加德纳在他1960年2月专栏中提出的一个简单的剖分问题：“给定一个钝角三角形，是否可能将其切成若干个更小的锐角三角形？”无疑地，最初的数种尝试都失败了，比如上图所展示的。（小三角形4不是锐角三角形）

还有一道更难的，选自加德纳1981年4月的专栏：“将一个正方形分割成互不重叠的锐角三角形，那么小三角形的数量最少可以是多少块？”他自己做出了一个令人惊讶的解答……

在1958年11月，加德纳提出一个问题，一个正方形是否能够被切成若干个更小的正方形——这些小正方形的边长必须为互不相同的整数，而不是类似国际象棋棋盘那样子的排成方阵的简单形式。从19世纪30年代开始，人们开始了解到这个问题与电网络理论有关联。加德纳提供过的一个近似的答案——一个32×33的长方形剖分成这样的一些正方形（荣登《科学美国人》某月的杂志的封面）。

上面的寻找“正方形中的正方形”问题的真正解答花了20年，其中的一个解是边长为112单位的正方形，它按照要求被切成了21个正方形。加德纳给出过一个有趣的基本论断，来说明为什么这些方式中没有一种可以适用于三维情况——就是说一个正方体不能被拆开成为若干的不相等的正方体。自从40年前读到这个论断起，我就深陷其中。这暗示着，在更高维度下，这些方法也不会有用！

从现在起，我们把正方形的问题放在一边，我们来讨论平铺问题吧。在1979年10月，加德纳写出了老友Golomb在1975年提出的挑战问题：整个无限平面是否能被正方形铺满，而且这些正方形边长还是形如1，2，3，…的整数？

Golomb的挑战问题很长时间没被攻破，2008年，它才被Jum Henle与他的儿子Fred征服。

这里说一下另外一个趣味智力题，加德纳展示了下图这个将一个由等边三角形构成的梯形切成四块全等的凸块的剖分方法，并寻求一种用五块全等的凸块分割一个正方形的方法。

事后看来，答案是相当明显的——我们提起过加德纳也是一个顶级魔术师，也因此是位误导大师么？就仅在一个月之前，一份“不存在其他解”的证明被公布出来了。（在由Lipin Yuan，Carol Zamfirescu和Tudor Zamfirescu所著的“正方形切成五个全等块的分割”的预稿中）

永远令人惊讶的五边形

将三角形和四边形放在脑后，我们来看看五边形。正五边形无法仅靠自身铺满整个平面，而像等腰三角形。正方形和正六边形却能完美地铺满整个平面，其中也包括不规则的五边形。下面的故事可能都可以在"Wolfram五边形平铺论证计划网页”这个互动项目中看到。这个故事始于100年前，那时Karl Rheinhardt发现了5种不同五边形平铺，这儿有其中的两种。

50年之后，在1968年，Richard Kershner发现另外三种形式，并随着马丁·加德纳在他1975年7月的专栏中的报道，Richard E.James又发现了一种形式。于是马丁·加德纳及时在接着的专栏里报道了这件事。而已到中年的圣迭戈的家庭主妇Marjorie Rice在她儿子的一本杂志中读到了这份报告。尽管没受过数学训练，她开始着手探索、组织自己的思绪并开创自己特有的记号来记录自己研究的过程。在1977年之前，通过发现四种全新的五边形平铺平面方法，她令数学界刮起了一阵风暴。这四种方式早先被其他所有人都忽略了，其中的两种展示如下。

她的一件在1995年发现的成果被数学家Doris Schattschneider采纳，用于华盛顿的美国数学协会本部的瓷砖铺设。

在1985年，Roll Stein发现一种新的五边形平铺，这将总数目提升到14种。之后又过去了30年，Casey Mann、Jennifer McLoud和David Von Derau，这三位都来自于华盛顿大学博塞尔分校的学者，在2015年7月宣布了第15种方法，如右是它的一种体现形式。

那么还有更多这样铺满整个平面的五边形平鋪吗？如果还有，一共有多少种这样的平铺呢？博塞尔团队中的印第安人McLoud（她是她家里第一个拿到大学文凭的人）说：“现在还不知道凸五边形平铺方法数量的上界。”就是说，可能还有几十种，或者有无限种。也有可能就这么多，不再有了。

盖棺了结

仔细看看博塞尔团队的五边形是很有建设性的，这个五边形就像一个不规则棺材。也许McLoud和他的同事真的靠着发现最后一种五边形平铺的类型给它钉上了钉子。

接下来我们来描述得到这个图形的过程：这个形状可通过折弯一条5个单位长度的稻草杆子（CDEaAB）来获得（这里a代表着图象中线段EA的中点，也代表着EA的长度），这之后会如下调整：

一个小孩拿着稻草杆子瞎捣鼓，把杆子折弯，只要拉开合适的位置，都能轻松地拼出这个五边形。也许，历史的长河中，真有过几次这样的事。如果真有这回事，没有孩子曾意识到他们的发现，他们只会在妈妈叫他吃饭的时候别无他想地扔掉那根稻草杆。那么，又有谁能断定没有某个小孩把稻草杆折成另一种能平铺无限平面的新型五边形呢？它的确是一种孩子能玩的，而且能玩出深入结果的东西（想想前面的主妇）。

（本文翻译自斯贝尔曼学院数学教授Colm Mulcahy的《It's as not-so-easy as 3，4，5》，有删节）endprint