探讨中考数学“新定义”问题的解题策略

吴小嵘

摘要：近几年各省、市数学中考题中不断出现“新定义”型问题，所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

关键词：特例探索；归纳证明；拓展应用；思维能力；创新能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）04-0102

近几年各省、市数学中考题中不断出现“新定义”型问题，所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型，它能考查学生对新概念（公式）特性的理解和认识，能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，以及信息的收集、迁移和应用能力，它对培养学生的思维能力和创新能力就有很好的促进作用。同时，此类题型新颖别致，颇具魅力，已成为中考试题中新亮点。本文先以最近两年江西省两道“新定义”中考试题为例进行探讨。

例1（2015江西省中考题24题）：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”。例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”。设BC=a，AC=b，AB=c。

特例探索：（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2■时，a= ，b= ；

如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a= ，b= ；

归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；

拓展应用：（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=■，AB=3。求AF的长。

分析：本题定义了一种新的“中垂三角形”，三个环节围绕着新定义展开阅读、感知、理解，计算、猜想、论证与拓广应用；本题运用了中位线的性质、勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形，相似三角线、平行四边形等有关知识。本题要求解答者读懂题意并结合已有的知识进行理解，再根据新的定义进行运算、猜想、推理，归纳、证明、迁移，拓展应用。

解：（1）如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，

∴EF=■AB=■，∵∠ABE=45°，AE⊥EF .∴△ABP是等腰直角三角形，∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，

∴AP=BP=2，EP=FP=1，∴AE=BF=■，∴a=b=2■.

如图2，连接EF，则EF是△ABC的中位线.

∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，

∴AP=2，BP=2■，∵EF∥■AB，∴PE=■，PF=1，

∴AE=■，BF=■ ∴a=2■，b=2■.

（2）a2+b2=5c2

如图3，连接EF， 设AP=m，BP=n，则

∵EF∥■AB，∴PE=■BP=■n，PF=■AP=■m，

∴AE2=m2+■n，BF2=n2+■m2，

∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2，

a2=bc2=4bf2=4n2+m2

∴a2+b2=5（m2+n2）=5c2

（3）如图，连接AC，CE，延长CE交BA的延长线于点H。在△ACD中，∵E，G是分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC。∵BE⊥EG，∴AC⊥BE。

又∵□ABCD，∴AE∥BC，AD=BC，BC=2AE。

∴△HAE∽△HBC。∵■=■=■=■，

∴HA=AB，HE=EC。∴BE，CA是△HBC的中线。

∴△HBC是“中垂三角形”，∴HB2+HC2=5BC2。

又∵AB=3，AE=■，∴HB=6，BC=2■. ∴.即HC=8.

∵AF是△HBC的中位线，∴AF=■HC=4。

思考：第（1）问设计特例探索仅仅认知了“中垂三角形”，但隐含了解决第（2）题思路方法，特别是中位线构造；第（2）问通过（1）猜想归纳中垂三角形一般结论并还是需要严格的几何逻辑推理证明。第（3）小题解题方法多样，主要是通过添加辅助线构造“中垂三角形”，然后再运用（2）问的一般结论求AF的长，有一定难度。但是，从整道题来看，第（1）小题和第（2）小题作为“路标”，解决第（3）小题可以拾阶而上，让学生经历对新概念的理解、操作、运用和证明过程。此题解决的关键是先从特殊图形出发，理解新概念的内涵，抓住本质，逐步归纳出解决一般情形的方法，然后进行拓展应用。

例2（2016年江西省中考题22题）【图形定义】：如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”。

【探究证明】：（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（即△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE。

【归纳猜想】：（3）图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 ，

（4）图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）；

（5）图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）。

分析：本题定义了“叠弦三角形”的概念，围绕它的定義进行猜想、探究、证明。本题运用了旋转的性质，等边三角形、全等三角形的性质和判断方法及正多边形等有关知识。本题要求解答者读懂题意并结合已有的知识进行理解，再根据已学的概念进行探究证明、归纳猜想。

（1）如图1，∵四ABCD是正方形，

由旋转知：AD=AD′，∠D=∠D′=90°，∠DAD′=∠OAP=60°

∴∠DAP=∠D′AO，∴APD≌AOD′（ASA）∴AP=AO，

又∠OAP=60°，∴AOP是等边三角形.

（2）如右图，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N.

∵五边形ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE′，∠PEA=∠E′=108°，∠EAE′=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E′AO，∴△APE≌△AOE′（ASA）∴∠OAE′=∠PAE.

在Rt△ABM和Rt△ABN中，

∠M=∠N=90°∠ABM=∠ABN=72°AE=AB

∴Rt△AEM≌Rt△ABN （AAS）。∴∠EAM=∠BAN，AM=AN.

在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AOAM=AN

∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）.

∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE′=∠OAB（等量代换）

（3）15°，24°

（4）是

（5）∠OAB=[（n+3）×180°÷（n+3）-60°]÷2=60°-■。

思考：此题第（1）问探究了“叠弦三角形”的形状，然后在第（2）问中探索“叠弦三角形”的“叠弦角”的性质。最后在第（3）（4）（5）问中由特殊到一般，进一步探究了“叠弦三角形”的形状及“叠弦角”的度数。题目中新定义的数学概念与学生已有的数学概念和知识有机结合，通过添加辅助线，构造全等三角形，来证明等角和等线，锻炼了学生的推理能力，有助于发展学生的空间观念，较好地考查了学生获取信息及利用所获得的信息解决问题的能力，有利于培养学生形成良好的学习方式，培养了学生自主学习的能力； 灵活运用的能力。

上述兩道“新定义”中考试题，要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，归纳出用于应用的操作程序及步骤。其解题的过程就是将“新”规则及符号转化到“旧”的知识体系中。其解题的关键的两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法，二是根据问题情景的变化，合理进行思想方法的迁移。其解决新的途径有三种：利用新知识解决问题；利用结论解决问题；利用新方法解决问题。利用新知识解决问题本题也是一种对新定义规则的应用，而新定义的规则学生是比较容易理解与掌握的。其解题方法：一般是运用新定义的法则转化成常规方法，其中运用数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等，多角度、多侧面分析问题。

总之，新定义型问题，一般构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，因此在平时的学习中要加强阅读能力的培养，通过转化、类比、推广等方法，建构知识网络，养成科学合理的推理运算，提高灵活综合运用所学知识解决较为复杂问题的能力。这样，学生在解决“新定义”型问题中就一定能取得更好的成绩。

参考文献：

[1] 严浩良，沈岳夫.对一道“新定义”型探究题的解法探析与拓展[J].中学数学，2016（4）.

[2] 胡伟斌.对一道新定义题的再探究[J].中学数学教学参考旬刊，2013（7）.

[3] 李立松.对一道新定义试题的解题分析的思考[J].中学数学教学参考，2007（12）.

[4] 陶卫东.对一道新定义试题的解题分析的思考[J].理科考试研究（初中版），2013（20）.

[5] 刘建玉.见识一道“新定义”试题[J].中学生数学（初中版），2013（3）.

（作者单位：江西省抚州市东乡区第二中学 344000）