一类捕食-食饵模型的初边值问题

查 淑 玲

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南 714099)



【自然科学基础理论研究】

一类捕食-食饵模型的初边值问题

查 淑 玲

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南 714099)

研究了一类捕食-食饵模型的初边值问题。利用上下解方法及不动点理论,证明了模型的初边值问题解的存在性和唯一性,得到了正解存在的充分条件。

响应函数；平衡态；上下解

在生态学中,不同类型的物种之间会存在相互作用,国内外有为数不少的生态数学工作者相继对物种间存在的捕食现象进行了研究。捕食者对食饵的功能反应有很多类型,文献[1]对带有Neumann边界条件的食物和猎物相互作用的反应扩散系统进行了研究,文献[1]的模型为

(1)

初值与边值条件为

其中：u和v为食物和猎物的物种密度,Ω是食物和猎物的生存空间且具有光滑边界∂Ω,∂/∂n是∂Ω沿单位外法向量的方向导数,di(i=1,2)是食物u和猎物v的扩散系数,β和m表示猎物的捕食率和饱和率,a和b为内禀增长率,考虑到猎物捕食过程中食物起到的合理影响,响应函数βu/(u+mv)为比例依赖的,而v/u表示环境对猎物的承载能力。

文献[1]获得了系统(1)唯一的正常数平衡解的全局稳定性;对于系统(1)的平衡态问题,文献[2]建立了正平衡解上下界的先验估计,并且导出了当物种的扩散系数很大或者很小时非常数正平衡解的一些不存在性结果;文献[3]结合平衡态解的先验估计,利用局部分歧理论,研究了在Neumann边界条件下系统(1)的平衡解的局部分歧的存在性,得到了其正平衡解存在的充分条件。本文则利用上下解的方法[4-8],在前人工作的基础上,给出下列系统(2)解的存在唯一性及解的发展趋势。

捕食-食饵系统(2)为

(2)

设初始时刻食饵和猎物的密度分别为u0和v0,并且捕食过程只在区域Ω内发生,即

(3)

取f=u(a-u-βv/(u+mv)),经过计算得fv=-βu2/(u+mv)2≤0,f关于v是拟减的,取g=v(b-v/u),因为gu=v2/u2≥0,故g关于u是拟增的。根据函数f和g的连续性和单调性,f和g关于u和v满足Lipsichltz条件,记Lipsichltz常数为K。

1 上下解的存在性

本节根据弱耦合反应扩散方程组的边值问题解的理论,通过上下解的定义,分别构造所讨论系统(2)常数形式的上下解和指数形式的上下解。

因为函数f和g的拟单调性,系统(2)的上下解需要满足下列定义。

(4)

(5)

1.1 常数上解和下解

解得

由于环境中Na和Ca含量高，样品处理过程中非常容易沾污。因此，超纯水需要使用现接的水，样品前处理与相应的测定也需尽快完成。

解得

当参数满足条件

1.2 指数形式的上解

根据反应扩散方程引论可知,特征值问题

(6)

及

p(0)Φ(x)≥u0,q(0)Φ(y)≥v0。

(7)

为了上述不等式(6)(7)成立,首先需要解微分不等式dp(t)/dt+λ0p(t)-ap(t)≥0,根据不等式的特点,只需要取

p(t)=p(0)e-(λ0-a)t,

将p(t)代入式(6)有

对上式进行适当放缩有

通过求解微分方程,满足上述不等式的q(t)取为

当p(0)≥u0/φm,q(0)≥v0/φm时,

为系统(2)(3)的指数形式上解。

2 解的存在唯一性

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

根据迭代格式及引理1,可得

从而得到下面的定理

即

若上述的主特征值满足λ0>max{a,b},根据指数形式的上解可知,当t→+∞时,(u,v)均趋向于0,这一结论说明了系统(2)的平衡解不是指数稳定的。

[1]BrazaPA.TheBifurcationStructureoftheHolling-TannerModelforPredator-PreyInteractionsUsingTwo-Timing[J].SiamJournalonAppliedMathematies,2003,63(3):889-904.

[2] 彭锐,王明新.一类具有扩散和比例依赖响应函数捕食模型的定性分析[J].中国科学(A),2008,38(2):135-148.

[3] 查淑玲.一类捕食-食饵模型平衡解的局部分歧的存在性[J].陕西理工学院学报(自然科学版)，2009,25(2):82-84.

[4] 周同藩.一类二阶半线性系统周期解的存在性[J].工程数学学报,2015,32(5):690-696.

[5] 林骐,陈莉敏.一类流行病数学模型解的研究[J].应用数学与计算数学学报,2003,17(1):15-19.

[6] 王长有,李树勇,杨治国.含时滞的反应扩散方程周期解的存在唯一性[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27 (4):339-342.

[7] 查淑玲.一类弱耦合反应扩散系统的动力学分析及应用[J].陕西理工学院学报(自然科学版),2011,27(2):78-82.

[8] 薛应珍.一类具非局部源和边界流抛物型方程组解的性质[J].四川师范大学学报(自然科学版),2015,38(3):355-358.

【责任编辑 牛怀岗】

Initial Boundary Value Problem for A Class of Predator-prey Mode

ZHA Shu-ling
(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

The initial boundary value problem for a class of predator-prey model is investigated in this paper. The existence and the uniqueness of the solution to the initial-boundary value problem are proved by using the method of upper and lower solutions and fixed point theory; besides, the positive solutions are obtained.

response function; steady-state; upper and lower solutions

2017-03-18

陕西省扶持学科数学学科基金资助项目:渭南地区艾滋病病毒动力学模型的研究(14SXZD019);渭南师范学院特色学科建设项目:数学方法在秦东经济社会发展中的应用(14TSXK02)

查淑玲(1965—),女,陕西潼关人,渭南师范学院数理学院教授，主要从事微分方程及计算可视化研究。

O175.26

A

1009-5128(2017)12-0005-05