依托数列教学培养学生的能力

苗金利

依托数列教学培养学生的能力，主要是指抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。

数列主要内容是数列的概念与表示，数列的通项公式与前n项和。数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学概念。通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立数列的概念，力求使学生在探索中掌握与数列有关的一些基本数量关系，感受数列的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题，进一步感受数列与现实生活的联系和具体应用。

一、基本量法解决基础问题，理解性质简化运算

要引导学生熟练掌握并灵活运用通项公式及前n项和公式是解决数列问题的基础；抓住首项和公差（或公比），是解决等差（或等比）数列问题的关键；灵活运用等差（或公比）数列性质，如：若数列{an}是等差数列，则an=am+（n-m）d）（其中m，nN*），am+an=ap+aq（其中m，nN*，m+n=p+q）是巧解等差（或公比）数列问题的法宝；巧设未知量，是简化运算的重要途径，如：若三数成等差数列，设这三个数分别为a-d，a，a+d，若四个数成等差数列，设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，可以大大简化运算。等比数列问题与此类似。

[例1] 数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列，若a3=-1，a5=+1，

求a11。

解析：设等差数列为{bn}，公差为d，

bn=，基本量法求出b11，进而a11==

。

学生对数列概念的灵活运用及运算能力，一道题中涉及两个或两个以上的数列时，审题需要特别细心，否则会出现失误，本题中数列{an}并不是等差数列；

[例2] （1）等差数列{an}中，ap=q，aq=p，求ap+q，Sp+q；

（2）一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和。

解析：通过本题的解决，熟练掌握基本方法的同时，总结解题技能，简化解题步骤提高运算能力，同时作为半成品记住结论。

（1）ap+q=0，Sp+q=

（2）S110=-110，特殊与一般的思想本题可以：“如果等差数列的前m项和为n，前n项和为m，那么前m+n项之和为-（m+n）。

二、自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数”的思想

函数思想贯穿于高中数学的始终。在其他必修内容中出现的函数基本上是连续函数，本模块中的数列为学生提供了离散函数模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数联系起来，有助于加深对一次函数、指数函数的认识。同时，教学中要通过列表、图象、通项公式表示数列，把数列融于函数之中，有助于提升学生对函数思想的理解水平。

[案例]已知函数f（x）=（x-1）2，数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q（q∈R且q≠1）的等比数列，若a1=f（d-1），a3=f（d+1），b1=f（q-1），b3=f（q+1）。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}对任意自然数n都有an+1=成立，

求c1+c3+c5+…+c2n-1的值；

（3）比较与的大小。

解：（1）{an}为等差，公差为da3-a1=（d+1-1）2-（d-2）2=2d=2

{bn}为等比，公比为q ==

q2q=1（舍）q=3

∴an=2n-2 bn=3n-1

（2）由已知，cn满足2n=++…+

-2（n-1）=++…++

∴2= ∴cn=2·3n-1 ∴c1+c3+…+

c2n-1=

（3）∵

∴当n=1时“=”；当n≥2时，猜“>”

又∵

∴只需证“n≥2”时，3n>2n+1

（数学归纳法或者二项式定理）

三、要把数列视为反映自然规律的基本数学模型

通过发掘了日常生活中大量实际问题，比如三角形数、正方形数、存款利息、出租车收费、校园网问题、谢宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质的衰变、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等，使学生充分感受到数列是反映现实生活的重要数学工具，体会数学是来源于现实生活并应用于现实生活的， 要强调在具体问题情境中，发现数列的关系，既突出问题意识，也有助于对数学本质的认识，从而提高运用数列模型解决实际问题的能力。

[案例]某市政府投入资金进行环境治理，并以此促进旅游产业发展，据市财政规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少，本年度本市旅

游业收入估计400万元，由于环境治理项目对旅游业的促进作用，预计今后每年旅游业收入会比上年增加。（1）分

别写出n年内环境治理总投入和旅游业总收入的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超過环境治理总投入。

解析：（1）分别设n年内环境治理总投入和旅游业总收入为an，bn，建立数学模型是两个等比数列的和，{an}首项800，

公比的前n项和；{bn}首项400，公比

的前n项和。an=4000-4000，bn=

1600-1600。

（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过环境治理总投入，即bn-an>0解得n≥5.即至少经过5年旅游业的总收入才能超过环境治理总投入。

四、重视基本数学思想方法的教学，强调基础性、综合型、应用性、创新性

由于数列处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的数学问题均属这种模式。观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在数列这章里得到了充分展示。为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件。等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质（等差还是等比）、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（等比）中项，具体问题里成等差（等比）数列的三个数的设法等。因此在学习时可采用类比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。

[案例]设随机变量的分布列如下：

则下列命题正确的序号为

（1） 当{an}为等差数列时，an=

；

（2） 数列的通项公式可能为an=

；

（3）当数列{an}满足时，an=（n=1，

2，…，9）时，a10=；

（4）当数列{an}满足P（≤k）=k2ak

（k=1，2，…，10）时，an=。

解析：（1）由于{an}为等差数列性质a5+a6=.正确。

（2）由于an=∈（0，1），

且，因此正确。

（3）当数列{an}满足an=1-S9=1-

=。

（4）由于及a1+a2+a3+…+an-1=（n-1）2

an-1及a1+a2+a3+…+an=n2an

上述两个式子相减，得到an=n2an-（n-1）2an-1，n=2，3，…，10

整理可得，n=2，3，…，

10迭乘得。

有由于a1+a2+…+a10=1，从而an=

。

（作者单位：北京四中）

责任编辑：肖佳晓

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