中考中的平行四边形问题

郭璇

平行四边形知识是中考的重点内容，纵观近几年的中考题，平行四边形以其独特的魅力占据了一席之地.该部分试题形式丰富，考查面广，下面根据本章的知识点，列举一些典型的中考题，与同学们分享.

考点1：平行四边形的性质

例1 （2016·江苏无锡）如图1，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 .

【分析】如图2，当点B在x轴上时，对角线OB最短.由题意得∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA=BC，∠AOD=∠CBE，由“AAS”可证明△AOD≌△CBE，得出OD=BE=1，继而得出结果.

解：当点B在x轴上时，对角线OB最短，如图2所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E.根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4.

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴OA∥BC，OA=BC，

∴∠AOD=∠CBE，

在△AOD和△CBE中，

∴△AOD≌△CBE（AAS），

∴OD=BE=1，

∴OB=OE+BE=5.

【规律方法】平行四边形的性质及应用：

1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.

2.平行四边形的每条对角线，把平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线把平行四边形分成四组全等的三角形.

3.解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用其性质证明三角形全等.

考点2：平行四边形的判定

例2 （2016·浙江舟山）如图3，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：

（1）如图4，将图3中的点C移动至与点E重合的位置，F、G、H仍是BC、CD、DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图5，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A、C、B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC、CD、DA的中点F、G、H组成正方形CFGH；

（3）在（2）的条件下求出正方形CFGH的边长.

【分析】（1）连接BD，根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD，CH=[12]BD，同理FG∥BD，FG=[12]BD，由平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果；

（3）根据勾股定理得到BD，由三角形的中位线的性质得到FG，于是得到结论.

【解答】（1）证明：如图6，连接BD，

∵C、H是AB、DA的中点，

∴CH是△ABD的中位线，

∴CH∥BD，CH=[12]BD，

同理：FG∥BD，FG=[12]BD，

∴CH∥FG，CH=FG，

∴四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图7所示.

（3）解：如图7，∵BD=[5]，

∴FG=[12]BD=[52]，

∴正方形CFGH的边长是[52].

【规律方法】平行四边形的判定思路：

1.若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等，或另一组对边平行.

2.若已知一组对边相等，可以证明这组对边平行或另一组对边相等.

3.若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分.

考点3：平行四边形中的折叠问题

例3 （2016·江苏宿迁）如图8，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为（ ）.

A.2 B.[3] C.[2] D.1

【分析】根据翻折不变性，可得AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的长.

【解答】∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，

∴FB=AB=2，BM=1，

则在Rt△BMF中，

FM=[BF2-BM2]=[22-12]=[3]， 故选B.

例4 （2016·湖北鄂州）如图9，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为（ ）.

A. 5 B. 7 C. 8 D. [132]

【分析】本题考查了菱形的性质、轴对称（折叠）、等边三角形的判定和性质、最值问题.由题意可知，△ABC为等边三角形，过C作CH⊥AB，则CH=[32]AB=4[3]，AH=BH=4.利用勾股定理计算出CD=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圓心、PA长为半径的弧上，利用点和圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可.

【解答】解：如图10，过C作CH⊥AB.

∵ABCD是菱形，∠B=60°，

∴△ABC为等边三角形.∴CH=[32]AB=4[3]，AH=HB=4.

∵BP=3，∴HP=1.

在RT△CHP中，CP=[（43）2+12]=7.

∵梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，∴点A′在以P点为圆心、PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时CA′的值最小.

∴∠APQ=∠CPQ，

∵CD∥AB，

∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=CP=7.

故正确答案为B.

【规律方法】本题作为选择题，通过作图得出答案是比较便捷的方法.弄清在什么情况下CA′的长度最小（相当于平移对称轴）是解决本题的关键. 折叠问题的本质：轴对称（全等性、对称性）.解题关键：根据折叠实现等量转化，可用勾股定理列式解决，或找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题.

（作者单位：江苏省扬州市田家炳实验中学）