天地和几何学

孙正凡

在我们观察宇宙时，不可避免地要涉及天体大小（尺度）、角度、距离等问题，这就需要几何学来帮忙。在古诗词里，古人也想知道日月距离、天地大小，可是有时候文科生不懂几何学啊。

近大远小看风景

刘磐幕

宋·许元信

山悬翠幕几千丈，我疑山顶即天上。

扪萝蹑蹬到山巅，犹如平地上青天。

始知天高应无极，幕阜苍苍一卷石。

洞庭八百古所传，对此遥看一镜圆。

当此再上三千丈，那知天下有山川。

《刘磐幕》这首诗的作者叫许元信，我们只知道他是宋朝人，其他信息就不知道了。在《全宋诗》中收录了他的两首诗，这是其中之一，另一首题为《幕阜山》，也就是本诗提到的“幕阜”。幕阜山，在湖南省平江县南江镇东面，海拔1 596米，为湘、鄂、赣三省边界最高峰，风景秀丽。本诗题目说的“刘磐幕”中的刘磐是三国时代割据荆州的刺史刘表的侄子，他曾经率军攻打东吴，与吴军将领建昌都尉太史慈在此对峙。后人把刘磐立营之地称为“刘磐幕”，太史慈驻兵之处为“营幕坪”，“幕阜”之名也由此而来。

吐槽：其实“阜”就是山，估计后人忘了“阜”的意思，于是今天变成了“幕阜山”，幕山山。

作者览胜访古至幕阜山，登上山顶之后产生了一些很有意思的想象。往上看，“天高应无极”，往下看，庞大的幕阜山成了小小的“一卷石”，远处方圆八百里的浩渺洞庭湖变成了“一镜圆”。作者非常准确地描写了视觉上“近大远小”的几何学规律。其实，这就是遥感技术的科学原理啊！在天文学上，同样也适用几何学规律，只不过由于天体离我们实在太远，以至于看起来都太小了，遥远的行星、恒星看起来都只是一个光点儿，只有太阳和月亮能够看出圆面。

十五的月亮十六圆

中秋无月既望月甚佳二首

宋·杨万里

其一

中秋无月莫尤天，月入秋来夜夜妍。

且道今宵明月色，何曾减却半分圆。

其二

月到中秋故故无，今宵月好莫渠孤。

旧传月径圆千里，影落金杯只粒珠。

同样为宋朝人的杨万里，名气要比许元信高到不知道哪里去了。他号“诚斋”，是一代诗宗，光流传下来的诗作就有4 200首，与陆游、尤袤、范成大并称“南宋四大家”。古人云“文章憎命达”，可杨万里诗文写得好，官儿也做得顺，官至宝谟阁直学士，又受封庐陵郡开国侯。更难得的是，杨万里写的诗语言浅近明白，描写景物清新自然，富有幽默情趣，号称“诚斋体”。我们最熟悉的一首诗《晓出净慈寺送林子方》：毕竟西湖六月中，风光不与四时同。接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。

这两首描写中秋月色的诗词同样极具“诚斋体”的特点。在这一年的中秋节，八月十五当天没有见到月亮，第二天月色却甚好。夏历把每月初一称为“朔”，十五称“望”，十六称“既望”，月相变化周期因此称为“朔望月”。这首诗的题目让我们不禁想到有句俗话叫作“十五的月亮十六圆”。虽然按照日子来算，十五是夏历一个月（29天或30天）的中间，但由于月亮最圆，也就是月亮、地球和太阳排成一条直线的时候，实际上大多数出现在十六。

“月入秋来夜夜妍”，秋季天高气爽，空气的透明度好，大气层对光线的吸收也少，所以秋季的月光显得格外皎洁，大概这也是为什么八月十五的月亮最适宜观赏的原因了。所以杨万里非常豁达地说，十五没有月亮也不要紧啊，“今宵月好莫渠孤”，今晚不要辜负它就好了。孤，通“辜”，渠，是方言“它”。

日月的大小

最后两句诗非常罕见地谈到了月亮的大小：“旧传月径圆千里，影落金杯只粒珠”，以前的传说认为月亮有千里之大，但是落到酒杯里看起来小得像是一粒珠子。这句诗其实揭示出了一个非常有意思的问题，月亮的大小应该怎么形容呢？

对于月亮的形容，常见的“玉盘”或“宝镜”，如李白《古朗月行》“小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。”不过，如果我们真的拿一个盘子或拿个镜子来跟月亮作对比的话，会发现其实月亮并没有那么大。其实我们伸长手臂，一个手指头就可以把月亮挡住了，普通大小的盘子或镜子会比手指头大十倍以上。可见这个说法略带夸张，不过由于夜空里月亮最亮，我们感觉上会认为它挺大的。

在天文学上谈论月亮的视大小是用几何角度来描述的。我们伸长手臂，小指宽度约等于一度，而月亮大小其实只有半度。张衡在《灵宪》里谈到，（日、月）“其径当天周七百三十六分之一”（有现代学者认为应该是730分之一），也是半度。可见天文观测不能单凭印象去判断，一定要借助科学仪器来测量。

根据这个数据，结合“月径圆千里”，其实我们可以计算月亮离我们的距离。也就是1千里对应半度的张角，这样可以计算出来距离为11.5万里。实际上，在中国传统天文学“天圆地方”的模型里，认为天的高度是十万里或者八万里，并且认为日月的距离跟天的高度是一致的。（也许，孙悟空一个跟头十万八千里，这个数字就是从这里来的吧，猴哥可是经常上天呢。）

现代天文学观测的结果發现，月亮直径是3 476千米，月亮离我们的距离是38.4万千米，这两个数值比古人想的“月径圆千里”或者“天地相去十万里”扩大了六七倍。看来关于宇宙之大，我们的想象力还需要提升呢。