圆锥曲线上的一个性质的探究

新疆大学附属中学 常晓兵

圆锥曲线上的一个性质的探究

新疆大学附属中学 常晓兵

在高中选修 2-1 第二章 2.2.1《椭圆及其标准方程》中，有这样一道例题：如图 1，设点 A、B 的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线PA，PB相交于点P，且它们的斜率之积是求点P的轨迹方程。

图1

图2

探究二：如果我们将左右两个端点换成上下两个端点，上述探究结论是否成立？

在探究一中将 A（-a，0），B（a，0）两点换成 C（0，-b），D（0，b）。P（x，y）为椭圆上异于 C，D 两点的任意一点（如图 3），试证

通过探究，当左、右端点换成上、下端点时，结论仍然成立。

探究三：从探究一和二中可以看出 A，B两点和C，D两点分别是椭圆在x轴与y轴上的端点。

图3

A，B 关 于 中 心 对 称，C，D 关 于 中心 对 称。 猜 测 若取 两 个 点是椭圆上任意直径的两个端点（如图4）。证明

将⑥⑦代入⑤中，得：可知结论成立。

探究四：由于该结论在椭圆中验证成立，那么在双曲线中该结论是否也成立呢？于是，我们继续探究。

图4

图5

由双曲线方程知：

通过以上探究，可知对于椭圆、双曲线都符合这个结论，对于圆是否也成立呢？

如图 6，设过圆 O 圆心的直线交圆于 P1、P2两点，显然即可以归纳为：平面内与两定点的连线的斜率的乘积为定值的点的轨迹可以是：圆、椭圆、双曲线。

图6