非完整约束系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性与守恒量

摘 要：以非完整动力学系统的Tzénoff方程为基础，给出了该动力学方程在非完整约束下产生Lie对称性共形不变性所需满足的条件，进一步探究了系统Lie对称性共形不变性成立时所能产生的守恒量，得到了该守恒量的表达式及产生这种守恒量的判定方程，最后用一个实例来展示研究结果的应用。

关键词：非完整约束； Tzénoff方程；Lie对称性；共形不变性；守恒量

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.10.189

动量守恒、动量矩守恒、能量守恒是自然界最基本的守恒规律，不但具有明显而深刻的物理意义，而且在日常生活、工业革新、航天航空技术、国防科技等领域有着极其广泛的应用。其实，在各种各样的动力学系统中，同样存在着具体的、各自不同的守恒量和守恒规律，它不但包含了上述物理意义明显的守恒量和守恒规律，而且包含了物理意义不明显的守恒量和守恒规律，还有更多的守恒量需我们研究清楚之后才能进一步挖掘其应用，所以，探究动力学系统中未知的守恒量和守恒规律是我们的一个重要任务。怎样才能找出动力学系统中的守恒量和守恒规律呢？德国科学家Noether给出了一种方法[1] ，即利用对称性和守恒量之间存在的对应关系，通过研究动力学系统中的对称性来找出其存在的守恒量。 进入21世纪以来，对称性和守恒量成为我国学者的一个研究热点，并取得了一系列成果[2-10]。20世纪末，俄罗斯学者Galiullin等人首次研究了Birkhoff 系统的共形不变性或共形对称性，并给出了共形不变性和共形因子的定义 [11]。 我国学者自从2008年开始研究了Lagrange 系统的共形不变性及其守恒规律[12]，从此掀起了共形不变性及其守恒量的研究热潮，现已扩展到了许多领域 [13-17] 。在分析力学中有多种动力学方程，如 Lagrange方程、Appell方程、Tzénoff方程、Birkhoff方程、Nielsen方程等，这些动力学方程虽然形式各异，动力学函数也不尽相同，但本质上是等价的、相通的，可通过适当的变换和推导，总可以由一种形式变换成另一种形式，我们可以根据研究方便恰当地选择其中一种。Tzénoff方程是最简捷的一种动力学方程，2006年以来，针对Tzénoff方程对称性与守恒量的研究也取得了一些成绩[18-23]， 但关于Tzénoff方程共形不变性的研究起步较晚，目前仅研究了完整约束系统Tzénoff方程的共形不变性与守恒量[24-25] ，还没有涉及到较复杂的非完整约束系统。

本文研究了在非完整约束下Tzénoff方程Liei对称性的共形不变性与守恒量。利用非完整约束系统的Tzénoff方程，定义了其Lie对称性共形不变性的概念，探究了该系统Lie对称性共形不变性产生守恒量的条件， 力求给出这种守恒量的表达式和导出这种守恒量的判定方程， 最后，通过一个简例来展示本文研究结果的应用。

1 非完整约束系统的Tzénoff方程

设由n个广义坐标来确定动力学系统的位形，且其运动受有个理想Chetaev 型非完整约束

其中为系统的动能，T中广义速度看作常数时对时间t的二阶导数设为，广义力为Qs，在非完整约束下的Tzénoff方程为

可利用方程（1） 和（4）求得乘子 ，将方程（4） 表示为

2 非完整约束系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性

其中是一无限小参数，为无限小生成元.非完整约束（1）在（7）式变换下的不变性归结为约束限制方程

由于Lie对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性[3]，又因方程（4）有（6）式的结果，所以，根据定义可得非完整约束系统Tzénoff方程Lie对称性的判据方程

定义1 如果无限小变换的生成元满足方程（10）或（12）以及约束限制方程（8），则这种不变性称之为非完整约束系统Tzénoff方程的Lie对称性。

定义2 非完整约束系统的Tzénoff方程（5）经无限小生成元变换后，能找到矩阵满足方程

则非完整约束系统Tzénoff方程具有Lie对称性的共形不变性。（13）式是其成立的判据方程， 为共形因子。

定理1 若非完整约束下的Tzénoff方程（5）在無限小生成元变换下是Lie对称性，且存在矩阵满足

则Tzénoff方程具有共形不变性且同时具有Lie对称性的充分必要条件是。

证明 设Tzénoff方程（5） 是Lie对称性的，则有，（14）式变为

由（13）式知系统具有共形不变性，其共形因子。反之， 若Tzénoff方程（5）成立共形不变性，（13）式和（14）式二者相减得

若，（16）式右端等于0，则Lie对称性的判定方程（10）成立，系统具有Lie对称性。

3 非完整约束系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性所导出的守恒量

非完整约束系统Tzénoff方程具备Lie对称性的共形不变性的限制条件较多，但在满足一定条件下仍可导出相应的守恒量。

定理2 对于非完整约束系统Tzénoff方程时间不变的Lie对称性且同时也是共形不变性的生成元，如果存在函数使得

则Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性将直接导出Hojman守恒量

证明 将（18）式按（19）式的关系对时间求导，利用Lie对称性判据方程（12） 和算子换算关系

4 应用例子

非完整系统的Tzénoff函数和约束方程分别为

试研究该力学系统Lie对称性的共形不变性和其导出的守恒量。

解 由非完整系统的Tzénoff方程（4）给出

由（21）式和（22）式求得（22）式成为

所以，Lie对称性共形不变性的判据方程（14）成立，系统具有Lie对称性的共形不变性，其共形因子

显然，生成元满足约束限制方程（8）和Lie对称性判据方程（12）， 系统同时也具有Lie对称性。方程（17）式给出

它有解

（18）式给出Hojman守恒量

5 结语

本文针对非完整约束力学系统的Tzénoff方程，定义了其Lie对称性共形不变性的概念，研究了Lie对称性具备共形不变性及其产生守恒量的条件，发现系统Lie对称性共形不变性在满足一定条件下也能导出守恒量，并给出了其所能产生守恒量的表达式。该研究结果对进一步探究高阶Tzénoff方程的共形不变性及其守恒量奠定了理论基础。

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国家自然科学基金（11372169）.

作者简介：郑世旺（1963-），男，河南兰考人，教授，主要从事分析力学方向的研究。