实现三叶玫瑰线画法的行星齿轮机构设计及仿真

马立安　 商玉梅　 刘晓

摘 要：设计了行星齿轮机构，在行星齿轮机构上安装描图杆，通过严格推导，证明了描图杆顶点走过的轨迹符合三叶玫瑰线的定义。并通过三维造型软件Creo进行实体建模、装配和仿真，获得轨迹线与理论推导相符。

关键词：玫瑰线；行星齿轮；轨迹线；仿真

玫瑰线的说法源于欧洲海图。在中世纪的航海地图上，并没有经纬线，有的只是一些从中心有序地向外辐射的互相交叉的直线方向线。李星秀等人提出玫瑰线的逐点生成算法[1]，王富贵等人对玫瑰线轨迹进行了计算仿真[2]，本文设计了一种行星齿轮机构，可以生成三叶玫瑰线。

1 运动轨迹方程推导

太阳轮1模数3mm，齿数20；行星轮2模数3mm，齿数20；内齿轮3模数3mm，齿数60。描图杆4长度为60mm。（图1）或者只要保证齿轮模数相同，齿数比保持z1∶z2∶z3=1∶1∶3，描图杆长度与行星轮直径相等即可。

齿轮1旋转，齿轮3固定。由于啮合关系齿轮1旋转必定带动齿轮2旋转，同时由于齿轮3固定，齿轮2在自转的同时还要绕齿轮1公转。此时与齿轮2固定在一起的描图杆4的尖端（A点）划过一条轨迹线，下面证明其为三叶玫瑰线。

运动分析设齿轮1转速为ω1，则行星架的转速为：

i1H=ω1ωH=1-iH13=1-（-6020）=4

ωH=ω1i1H=ω14

行星轮转速

ω1-ωHω2-ωH=-z2z1=-2020

解得

ω2=2ωH-ω1=-ω12

初始位置如图1所示，取行星架转速为ω，则齿轮1转速为4ω，齿轮2转速为2ω。则太阳轮1顺时针转过4ωt，行星架顺时针转过ωt，齿轮2逆时针转过2ωt。如图2：

设O1A长度为l，此时ΔO1OA为等腰三角形，

ρ=OA=2lsin3ωt2（1）

φ=π2-ωt-∠O1OA=π2-ωt-π-3ωt2=ωt2（2）

令，2l=a，将（2）代入（1），得

ρ=asin3φ

正好符合三叶玫瑰线定义[3]，所以点A的运动轨迹为一条三叶玫瑰线。

2 Creo行星齿轮系建模及仿真

在Creo中太阳轮1模数3mm，齿数20；行星轮2模数3mm，齿数20；内齿轮3模数3mm，齿数60；描图杆4长度为60mm。创建模型并装配，如图3：

图3 三叶玫瑰线

伺服电动机带动齿轮1转动，进行运动分析，完成后，创建描图杆端点的轨迹曲线，即可描出三叶玫瑰线的轨迹（图3）。

3 结论

通過严格公式推导，获得了能够描出三叶玫瑰线轨迹的行星齿轮系各构件参数的公式，并通过CREO参数化建模，装配及运动仿真，描出了预期的玫瑰线轨迹，说明推导是完全正确的。

参考文献：

[1]李星秀，康宝生.玫瑰线和普通旋轮线的逐点生成算法[J].计算机工程与设计，2006，（3）.

[2]王福贵，王建伟.玫瑰线轨迹模型及其仿真实验[J].计算机时代，2013，（4）.

[3]同济大学应用数学系.高等数学第五版.北京：高等教育出版社，2002.

作者简介：马立安（1976），男，河北乐亭人，硕士，工程师，研究方向：机械设计及理论。