底部框架双功能减震结构地震响应分析

张敏 占科彪

摘 要：为探究底部框架砌体房屋在地震激励下的地震响应，分析了底部两层框架上部四层砌体结构的计算模型，在底部两层框架中均匀设置粘滞阻尼器并在框架顶层与砌体层之间增设隔震层，形成底部框架双功能减震结构.采用状态方程直接积分法对结构进行地震激励下的响应分析，且与SAP2000软件建立的减震和抗震结构模型分析结果进行对比，分析结果表明，两种方式下结构的地震响应基本吻合；另外，还采用强制解耦法进行了相应计算，并与前述积分法对比，结果表明，强制解耦法随着振型阶数的增大，精度逐渐降低，但在前二阶振型中具有很好的精度，超过第三阶误差将逐渐增大.研究结果表明，减震结构具有良好的减震性能，状态方程直接积分法对于底部框架双功能减震结构的计算具有较强的实用性.

关键词：底部框架；阻尼；隔震；减震；状态方程；解耦

中图分类号：TU352.1 文献标志码：A

0 引言

底部框架砌体房屋可以充分利用底部框架的优点，较灵活地进行服务大厅、商铺、餐厅等大空间的布置；而上部采用多层砌体结构形式，可用作办公室、住宅和小旅馆等小空间建筑.底部框架砌体房屋由两种承重和抗侧力体系构成，属于下部较柔上部刚度较大且自重大的结构.1994—1999年，中国建筑科学研究院抗震所等单位，对该类结构的抗震性能和设计方法进行了一系列研究[1-4] .国内对底部框架砌体房屋的一般做法是在底层或者底部两层的纵向和横向都均匀布置一定数量的抗震墙，且在设计上让抗震墙几乎承担全部的地震剪力，但是底层的抗震墙布置得不合理时，就难以使其充分发挥作用，可能会改变底层框架的受力和变形形式[5]，从而对结构整体抗震能力产生不利影响.至今，对多层隔震结构[6]和基础隔震[7]结构研究较多，为改善该类结构的抗震性能，也有学者提出被动耗能减震的设计方法[8].2006年，黄文等[9]提出把隔震橡胶垫放置在上部砌体与底层框架结构之间的隔震措施，得到隔震层具有较大的变形和耗能能力，大大削弱了地震对建筑结构的影响.汶川地震后，许多学者对该类房屋的震害作了详细的调查和分析[10-11].2013年，申波等[12]提出了在底部框架層增设防屈曲支撑的减震方式，结果表明在底部框架砌体房屋中增设防屈曲支撑有利于结构耗能，可以提高结构整体的抗震性能.另外，在结构上设阻尼器以改善结构抗震性能的研究也很多[13-15].近年来，为探索耗能减震结构新的设计方法，有关学者[16-17]提出了状态方程直接积分的计算方法，并验证了该方法的合理性以及精确性.

本文提出对底部两层框架层增设粘滞阻尼器，并在底部框架与上部砌体结构间增设隔震层，形成底部框架双功能减震结构，该结构在底部框架中设阻尼器，并在上部砌体结构底部设隔震装置来减弱下部框架的地震反应；上部砌体底部的隔震装置可降低上部砌体结构的地震作用.由于国内对底部框架房屋利用该种混合减震设计方法的研究极少，故本文提出该结构并对其采用状态方程直接积分法求解其振动微分方程，并借助软件SAP2000对分析结果进行合理性验证.

1 底部框架双功能减震结构计算模型

底部两层框架双功能减震结构由于在底部框架层增设了粘滞阻尼器，因而可以将下部两层框架简化为两个质点.隔震层以上砌体结构，由于本身的层间变形相对底部框架小得多，因而可忽略上部砌体的层间变形，简化为一个质点.该结构计算模型见图1.

图1中，m1，m2分别为下部框架第一层和第二层的质量；c1，c2分别为下部框架第一层和第二层的阻尼系数，包括结构自身阻尼系数和阻尼器附加的阻尼系数；k1，k2分别为下部框架第一层和第二层抗侧刚度，不考虑粘滞阻尼器对结构刚度的增加；mu为上部砌体结构的总质量；ku，cu分别为隔震层的水平等效刚度和阻尼系数[18]；x1，x2，xu为底部框架第一、第二层和上部砌体结构整体相对于基础的位移；g为地面加速度时程.

一般地，当底部框架有n层时，在地震作用下，结构振动方程为：

M+C+Ca+KX=-MIg （1）

其中：

M=；C=； M0=diag（mi）（i=1，2，…，n）

Ca=； K=

E=； E0=； X==

式中，M——结构整体质量矩阵；Ca——阻尼器和隔震装置附加给结构整体的阻尼矩阵；Cd——阻尼器附加给底部框架阻尼矩阵；M0——底部框架质量矩阵；C0——底部框架自身的阻尼矩阵；K0——底部框架刚度矩阵；X——结构整体各楼层相对基础的位移； x——底部框架各楼层相对基础的位移，0——零向量.

2 状态方程直接积分法

2.1 地震作用响应

对设置了粘滞阻尼器和隔震支座的底部框架双功能减震结构，令X=？椎q，则方程（1）变为：

++q=-？椎TMIg（2）

式中，=？椎TM？椎，=？椎TK？椎和=？椎T（C+Ca）？椎分别为广义质量、广义刚度和广义阻尼矩阵，？椎为整体结构振型矩阵，q为正则坐标向量.将方程（2）写为状态方程形式，令：

Z=q （3）

=（4）

并补充方程-=0，可得：

=AZ+P（t） （5）

其中：

A= （6）

P（t）=g （7）

对方程（5）进行求解，取初始状态Z0=0，可得：

Z=eA（t-？子）P（？子）d？子（8）

假设输入系统的信号在时间段？驻t=tk+1-tk内连续变化，则第（k+1）步时的响应可表示为：

Zk+1=eP（？子）d？子=eeP（？子）d？子+eP（？子）d？子=

？渍（？驻t）Zk+eP（？子）d？子（9）

其中，？渍（？驻t）为指数形式的状态转移矩阵I为单位矩阵，其展开如下式：

？渍（？驻t）=eA△t=I+A？驻t+++？噎++？噎（10）

采用Cotes积分法，可得：

Zk+1=？渍（？驻t）Zk+（7？渍（？驻t）P（tk）+32？渍（）P（tk++

12？渍（）P（tk+）+32？渍（）P（tk+）+7P（tk+1））（11）

进而求得：

=AZ+P（t） （12）

q=Hd Z （13）

=Hv Z （14）

=Hv （15）

其中：

Hd=[I 0] （16）

Hv=[0 I] （17）

从而可得结构地震响应X=？椎q，=？椎和=？椎，其中0——0矩阵.

2.2 地震作用分析

《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）[19]定义的地震作用是以自身阻尼较小的抗震结构为对象，因此忽略了阻尼而采用质点质量与其绝对加速度乘积的形式.但设置阻尼器后，结构阻尼较大，原定义就不能再被采用，故本文各质点地震作用向量一般定义：

F=KX （18）

因为X=？椎q，则F=K？椎q，结合=？椎TK？椎，则有：

？椎TF=q（19）

对式（19）两边同乘-1，可得-1？椎TF=-1q，即：

？椎-1M-1（？椎T）-1？椎TF=？棕2q（20）

其中？棕2=-1=diag（）（j=1，2，？噎，n），则由式（20）可得地震作用向量为：

F=M？椎？棕2q （21）

进而，结构第j阶地震作用向量为：

Fj=M？椎j··qj （22）

第j振型第i质点地震作用向量：

Fji=Mi·？椎ji··qj （23）

使用式（23），可以计算底部框架双功能减震结构各楼层的地震作用.

3 强制解耦法

当底部框架层设有粘滞阻尼器时，附加阻尼矩阵Cd对振型不具有正交性，则振型分解法不再适用求解振动方程.欧进萍等[20-22]认为对某些耗能减震结构，其非正交阻尼矩阵可采用强制解耦，其精度一般较高.另外，振型分解法因其计算简单，不少文献中也提出对附加阻尼矩阵Cd采用强制解耦，即取其非对角线元素为0（？椎jTCd？椎j=0（i≠j））.

4 算例设计

某底部框架砌体结构房屋，总层数六层，底部两层框架，层高分别为5.0 m和3.6 m，上部四层砌体层高均为3.0 m，总高20.6 m，结构布置图如图2所示；首层和第二层框架梁截面分别为400 mm×700 mm和400 mm×800 mm，柱截面为650 mm×650 mm；上部砌体每层构造柱尺寸240 mm×240 mm，圈梁240 mm×300 mm，均采用MU10砌块，墙厚240 mm，第三层过渡层砌体墙采用M10砂浆，第四层到第六层砌体墙采用M7.5砂浆；除第二层楼板厚度为150 mm外，其余楼板均为100 mm；混凝土强度等级为C30 .抗震设防烈度为8（0.2 g）度，设计地震分组为第二组，II类场地，设防类别为丙类；楼屋面的恒载标准值为4.5 kN/m2，活荷载标准值为2.0 kN/m2，首层框架梁上的线荷载为6.0 kN/m .

为了分析结构横向地震反应，在底部框架两楼层中均沿横向布置粘滞阻尼器，单个阻尼器系数为Cd=2.5×103 kN·s/m；隔震层布置在框架层与砌体层之间，选用柳州欧维姆机械股份有限公司生产型号为JZY1Q520×198的铅芯橡胶支座，其水平等效刚度多遇地震下取值kh=1.54×103 kN/m（等效阻尼比？孜u=0.26），罕遇地震下取值kh=1.09×103 kN/m（等效阻尼比？孜u=0.15），詳细参数可查阅该公司《建筑隔震产品数据手册》.

图2（a）中“（1-2）”，代表框架在该跨第一至第二层均布置阻尼器，每层横向总阻尼系数均为Cd=15×103 kN·s/m；隔震层总水平刚度，多遇地震下为kh=3.08×104 kN/m，罕遇地震下为kh=2.18×104 kN/m.取适用第II类场地的El Centro波作为外部地震激励输入，对多遇地震，加速度峰值调整至70 cm/s2，对罕遇地震，加速度峰值调整为400 cm/s2 ，仅沿横向进行单向地震响应分析.

5 底部两层框双功能减震结构地震响应分析

针对多遇地震或者罕遇地震，采用SAP2000和本文状态方程直接积分法对底部两层框架双功能减震结构进行分析，从图3—图5可以看出，结构在不同地震响下具有类似的变化规律，而且顶层加速度时程曲线、基底剪力时程曲线和隔震层变形时程曲线在两种分析方法下吻合较好，误差较小，表明状态方程直接积分法在本文结构中进行求解分析具有较好的精确性.

6 强制解耦法误差分析

图6表明，沿横向均匀设置了阻尼器的底部两层框架砌体结构，采用强制解耦进行求解，若结构振动阶数越高，误差会越大，但前二阶振动采用强制解耦法时误差较小，可以忽略，第三阶误差振动较大.这表明，强制解耦法求解对较低阶振型具有较好的精度，而对高阶振型精度较差，因此宜采用前述状态方程直接积分法求解.

7 底部两层框架双功能减震结构减震效果分析

为了说明减震效果，本文分析了该减震结构和相应抗震结构的地震响应，结果如下.

7.1 楼层最大层位移

7.3 底部框架层最大层间剪力分析

使用式（23）可以计算出每个质点在各阶振型下的地震作用，由此可计算出底部两层框架各楼层的层间最大剪力，见图9.

从图7—图9可见，采用SAP2000和状态方程直接积分法分析结果基本相符.另外，由图表明：

1） 图7中，减震结构，底部框架的第二层与上部砌体层之间的隔震层变形较大，变形集中在隔震层，表明隔震层不仅可以起到隔离地震激励向上部砌体结构的传递，而且也耗散了大部分地震能量，使上部砌体结构地震响应较小；另外，底部框架层最大层位移比抗震结构小得多，表明结构的地震响应得到了有效降低，对结构整体起到了减震效果.

2） 图8中，抗震结构，底部框架层层间位移角很大，多遇地震下，首层和第二层均超过弹性层间位移角限值1/800，即1.25×10-3；罕遇地震下，首层和第二层均超过了相应的层间位移角限值1/300，即3.33×10-3；但底部两层框双功能减震结构在两种情况下，层间位移角均未超限，表明底部框架层在多遇地震下能够保持良好的工作状态.

3） 图9中，底部两层框架双功能减震结构，无论是在多遇地震还是罕遇地震下，其底部两层框架的最大层间剪力均比相应的传统底部两层框架砌体结构小得多，首层最大层间剪力减小幅度大于第二层的相应值，因而，底部框架层减震效果较好.

8 结论

通过对底部两层框架砌体双功能减震结构采用状态方程直接积分法求解地震激励下的动力响应，并与有限元分析软件SAP2000的分析结果进行对比，由此表明状态方程直接积分法具有良好的计算精度；并且对强制解耦法的精确性也作了分析.主要结论如下：

1） 在框架层沿横向均匀设置阻尼器以及在上下结构间设置隔震层后，采用状态方程直接积分法求解的结构地震动响应跟有限元软件的分析结果基本一致，从图3—图5和图7—图9可以看出，两者结果吻合得较好，表明状态方程直接积分法在该结构中求解分析具有较强的实用性，可以作为该类结构分析的一种理论计算方法.

2） 对于底部两层框架双功能减震结构，强制解耦法可以在前两阶振动下取得较为精确的结果，但对于高阶振动（不小于三阶），误差较大，且振动阶数越高，求解偏差越大.故此，强制解耦法可用于求解该类结构第一阶和第二阶的地震反应，对高阶振动的结构地震响应不宜使用该法.

3） 对于底部两层框架双功能减震结构，隔震层能够有效地耗散地震能量，隔离地震激励向上部砌结构传递；底部两层框层的层间最大位移角均满足抗震要求；上部砌体结构表现为刚体整体平移；相对传统底部两层框架砌体结构，底部两层框架双功能减震结构底部第一层和第二层的层间最大剪力小得多.

4） 当底部框架层的质量和刚度沿高度分布均匀，且在底部框架顶层与上部砌体层之间设置了隔震层的底部框架结构，针对底部框架层有无阻尼器的情形，均可采用状态方程直接积分法求解其振动方程.

5） 从结论2）和结论3）可以得出，与抗震结构对比，底部框架双功能减震结构具有良好的减震性能.

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Analysis of seismic response of bifunctional damping

structure of bottom frame

ZHANG Min， ZHAN Ke-biao

（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and

Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： To explore the seismic response of bottom-frame-masonry buildings subjected to the earthquake excitation， with the structure of bottom two-layers frame and upper four-layers masonry as the computational model， viscous dampers are evenly installed in bottom two-layers frame and isolation layer is set between the top of the frame and bottom of the masonry， bifunctional damping structure of bottom frame are formed. State equation direct integral method are adopted to calculate the seismic response of the structure， the results are contrasted with the calculation of the software SAP2000 for damping and aseismic structure. The analysis results show the basic coincidence of two types of structure seismic response. Meanwhile， the forcing decoupling method is also adopted to study the structure， which compares with state equation direct integral method. The consequence indicates that the accuracy of the forcing decoupling method decreases gradually following the increase of the number of modal order， but there is a good precision in the first second order vibration and the error of exceeding the third order gradually increases. Research results show that damping structure has good damping performance， and that state equation direct integral method for bifunction damping structure of bottom frame has strong practicality.

Key words： bottom frame； damping； seismic isolation； seismic damping； state equation； decoupling

（學科编辑：黎 娅，张玉凤）