一种简便的刚度矩阵坐标转换方法

古雨 杜鹏 余忠儒 李叔容

摘 要：本文分析了矩阵位移法中基本的坐标转换的方法，发现坐标转换的一定规律，提出一种更为简便的刚度矩阵坐标转换方法。并以坐标转换90度为例进行验证，证明此方法简便可行。

关键词：矩阵位移法；坐标轉换；刚度矩阵

0 引言

解决结构力学问题时，常常使用矩阵位移法，运用“电算”的方法计算杆端力、支座反力，最后画出受力图。其中，在求总刚矩阵Ke时，必须列出单元刚度矩阵Ke，再将各单元坐标系下刚度矩阵进行坐标转换，叠加后得到整体坐标系下的总刚矩阵。

1 问题提出

由于单元坐标系与整体坐标系不同，故需进行刚度矩阵的坐标转换，通过下式进行运算：

Ke=TTKT

其中：Ke——整体坐标系下刚度矩阵；K——单元坐标系下刚度矩阵；

T——单元坐标转换矩阵；TT——单元坐标转换矩阵T的转置矩阵。

上式计算时至少是3个6×6的矩阵相乘，计算量大且容易出错，并且不同角度的坐标系转换没有统一的计算模板，所以怎样能够使刚度矩阵的坐标转换变得简便，成为本文探究的问题。

2 方法提出与问题求解

本文以单元坐标体系与整体坐标体系夹角为90°时为例进行研究，有杆件①②、整体坐标系XOY与单元坐标系X①OY①如图所示：

易知Y①=-X，X①=Y，即局部坐标系下X和Y所对应行和列互换，且Y所对应行和列项各取一次负号，以杆②为例，單元坐标系下刚度矩阵如下：

用整体编码替换单元编码，且对第2、5行、第2、5列所对应项各取一次负号，对应变化后K②，如下：

特别说明：局部刚度矩阵变化时，其中K22、K25、K52、K55进行两次取负号处理，即正负号与原来保持一致。

对矩阵编码进行整理，得到整体坐标系下②杆的刚度矩阵K②e：

3 总结与分析

与原有基于线性代数知识推导得出的求解方法相比，此方法计算量明显减小，不易出错，且更易理解。但是，本文仅对单元坐标体系与整体坐标体系夹角为90°时的情况进行研究与分析，验证此方法的可行性；当角度变化为其他角度时，此方法的推导思路仍然适用，但推导过程计算量仍然较大，适用性较差。

参考文献

[1]龙驭球，包世华.结构力学[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]同济大学数学系.线性代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

（作者单位：西华大学）