基于Lagrange插值的局部特征尺度分解方法及其应用

吴占涛+程军圣+李宝庆+郑近德

摘 要：针对局部特征尺度分解（Local Characteristic-scale Decomposition，LCD）方法中均值曲线插值点的属性主要由相邻两同类极值点的属性决定，不能很好地体现数据的整体变化趋势，从而可能引起分解精度降低，提出了基于Lagrange插值的局部特征尺度分解（Lagrange Interpolation based Local Characteristic-scale Decomposition，LILCD）方法.该方法采用Lagrange插值取代LCD中的线性插值，且均值曲线的插值点是由相邻的3个同类极值点构成的Lagrange插值多项式计算产生.引入了对称系数的概念，并给出了最优对称系数评价准则.研究了LILCD方法的原理及最优对称系数评价准则，通过仿真信号将LILCD方法与LCD方法进行了对比，结果表明LILCD在提高分量精确性和正交性方面具有一定的优越性.将LILCD方法应用于转子不对中故障的诊断，结果表明了方法的有效性.

关键词：局部特征尺度分解；Lagrange插值；故障诊断；不对中故障；时频分析

中图分类号：TH165；TH911.7 文献标识码：A

The Method of Lagrange Interpolation Based Local Characteristic-scale Decomposition and Its Application

WU Zhantao1， CHENG Junsheng1， LI Baoqing1， ZHENG Jinde2

（1. State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan University， Changsha 410082， China；

2. School of Mechanical Engineering， Anhui Univetsity of Technology， Maanshan 243032， China）

Abstract：A new non-stationary signal method——Lagrange Interpolation based Local Characteristic-scale Decomposition （LILCD） was proposed to improve the LCD method， in which the property of mean curve interpolation points was mainly decided by adjacent similar extremum points which cannot properly reflect the overall trends of signal， and the decomposition precision was lowered. To improve the LCD method， Lagrange interpolation was used in LILCD to replace the linear interpolation in LCD， and the mean curve interpolation points were computed with the Lagrange interpolation polynomial generated by three adjacent similar extremum points. Symmetric coefficient was introduced， and the optimal evaluation criteria of symmetric coefficient were given. The paper firstly studied the theory of LILCD， and then， simulation experiments were done to compare LILCD with LCD. The results have indicated that LILCD is more efficient in improving the veracity and orthogonality in components than LCD. Finally， the proposed method was applied to diagnose the rotor with misalignment fault， which indicates the effectiveness of LILCD.

Key words：local characteristic-scale decomposition（LCD）； Lagrange interpolation； fault diagnosis； misalignment fault； time-frequency analysis

當机械设备发生故障时，其振动信号一般是非平稳、非线性信号，由于时频分析方法能同时提供非平稳信号在时域和频域的局部化信息而得到了广泛的应用[1].自适应时频分析方法的特点主要表现在不需要对被分析信号的形态特征或者信息做出预测和限制的前提下，可以在对信号进行分解的过程中根据信号本身的特性自动产生基线信号，从而使得分解结果具有一定的物理意义[2].近年来最具代表性的自适应时频分析方法是经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）方法[3-4]，EMD方法自提出后在很多领域得到了广泛的应用[5-6].然而，EMD方法存在包络过冲和欠包络、迭代计算量大、端点效应以及模态混淆等问题[7].作为对EMD方法的改进，程军圣等人[8]提出了另一种自适应时频分析方法——局部特征尺度分解（LCD）.LCD能够自适应地将一个复杂信号分解为若干个瞬时频率具有物理意义内禀尺度分量（Intrinsic Scale Component，ISC）之和，从而得到原始信号完整的时频分布.与EMD相比，LCD避免了MED中采用三次样条拟合极值点生成包络线的方式来定义均值曲线，而是基于数据本身的特征尺度参数，不但减小了分解误差，提高了计算速度，而且在一定程度上也抑制了模态混淆，已被应用于信号分析和机械故障诊断等领域，取得了较好的效果[9-11].

EMD和LCD等这类基于筛分的信号分解方法有共同的分解思路，即在定义瞬时频率具有物理意义的单分量信号的基础上，定义一种基于均值曲线的筛分过程，通过筛分过程不断从原始信号中分离出相对高频的分量.因此，在这类基于筛分过程分解方法中核心问题是如何定义合理的均值曲线，均值曲线的定义优劣直接决定了方法的有效性和精确性[12].LCD均值曲线的插值点是由连接两相邻同类极值点的连线计算产生，虽然相对EMD减小了迭代计算量、提高了分解精度，但由于均值曲线插值点的属性主要由相邻两同类极值点的属性决定，不能很好地体现数据的整体变化趋势，从而可能引起分解精度降低，因此有待进一步改进.本文提出了基于Lagrange插值的局部特征尺度分解（Lagrange Interpolation based Local Characteristic-scale Decomposition，LILCD），采用Lagrange插值[13-14]取代LCD中的线性插值，且均值曲线的插值点是由相邻的3个同类极值点构成的Lagrange插值多项式计算产生，可以更好地体现数据的整体属性；引入了对称系数的概念，并给出了最优对称系数评价准则，选取最优对称系数，提高LCD分解精度.

本文研究了LILCD方法的原理及最优对称系数评价准则，通过仿真信号将LILCD与LCD进行分析对比，结果表明，LILCD在提高分量精确性等方面具有一定的优越性，并采用LILCD方法对具有不对中故障的转子振动位移信号进行了分析，结果表明LILCD能够有效地将高频不对中故障成分与转频等成分进行分离，从而实现转子故障诊断.

1 LILCD

1.1 LILCD均值曲线

对称系数λ取不同的值，则可得到不同的均值曲线，进而得到不同的ISC分量.选取最优的对称系数λ可以改善LCD均值曲线，以在迭代过程中消除趋势，降低筛分误差，提高分解精度.

由于Ak和Lk值的下标k值从4变化到K-1，采用端点延拓方法[15]，求得L1，L2，L3和Lk的值.实际上，LCD方法中Ak和Lk的值也可以看作是由相邻极值点采用Lagrange插值产生的曲线计算产生的，区别在于Lagrange插值阶次和插值点个数不同.

1.2 LILCD分解过程

对实信号x（t），对称系数λ在取值范围内，以一定步长改变，得到的一系列值记为λj，j=1，2，…，J，J为λ的总个数.LILCD分解步骤如下：

1.3 最优对称系数评价准则

为了评价对称系数λ取不同值时，分解得到的ISC分量精确性，需要确定一个最优λ评价准则.参考文献[3]提出了正交性性质，文献[16]在对EMD方法改进时提出了正交性检验准则，本文使用正交性评价指标选取最优的对称系数λ（opt）.理想状态下，单个ISC分量正交于其余的ISC成分，则单个ISC也正交于其余的ISC成分的和，即要满足：

式中：x（t）为原始信号的真实值；ISCi（t）为分解得到的单分量信号；T为信号长度；N为ISC分量总数.定义式（10）为单个ISC分量与其余ISC成分之和的正交性评价指标（Evaluation Index of Orthogonality， EIO）.

1.4 仿真信号分析

为了说明所提出的LILCD方法的优越性，不失一般性，考虑式（11）所示的混合信号：

分别采用LILCD和LCD对仿真信号x（t）进行分解，2种方法均采用端点延拓方法处理端点效应.采用LILCD分解时，对称系数λ∈[0.5，2]，步长为0.05.图3是λ分别为0.50，1.25和2.00时，LILCD分解得到的各ISCj1（t）和ISCj2（t）分量的分解绝对误差.分解绝对误差定义为分解得到的ISC分量与真实分量之差的绝对值.图4是λ∈[0.5，2]时得到的各ISCji（t）分量对应的EIOji值变化情況，i=1，2.

从图3可以看出，当λ取不同值时，对LILCD得到的2组ISC分量的分解绝对误差均有一定的影响，对ISCj1（t）分量的分解绝对误差影响相对更明显些，这说明λ值的选取会影响LILCD的分解精度.由图4可知，LILCD在分解第1个分量时，λ（opt）1=0.95，对应的EIO值为1.775×10-5；在分解第2个分量时，λ取不同的值，EIO值均较小，λ（opt）2=2，对应的EIO值为0.005 7.

2种方法对仿真信号x（t）的分解结果分别如图5和图6所示，2种方法的分解绝对误差如图7所示.

由图5～图7可以看出，LILCD的分解结果比较理想，分解分量与真实分量非常接近，分解绝对误差较小；LCD的分解分量I1与真实分量也比较接近，但分量I2与R2的局部波形失真，与真实分量分解绝对误差较大.

为了进一步比较2种方法的分解效果，本文还考察了2种分解方法的分解正交性指标（IO）[3]，以及2种分解方法得到的前2个分量与真实分量的均方根误差（RMSE）和相关系数（CC）[3].IO值越小，表示所有分解分量之间的正交性越好；RMSE值越小，表示分解误差越小；CC值越大，表示分解的准确性越高.各评价指标值如表1所示，其中RMSEi和CCi分别表示第i个分解分量与其对应真实分量的均方根误差和相关系数，i=1，2.

由表1可以看出，与LCD方法相比，LILCD方法的正交性指标和均方根误差指标值都更小，相关系数指标值都更大，说明LILCD方法在正交性和精确性等方面表现出一定的优越性.

2 应用实例

为了进一步说明LILCD方法的有效性与实用性，将其应用于由弯曲变形引起的不对中故障的转子振动位移实验信号分析，实验装置示意图如图8所示.转子转速为3 000 r/min，转频fr=50 Hz，实验采样频率为fs=2 048 Hz，采样时长为0.5 s.其中调速电机为直流并励电动机，功率为250 W；转子径向位移振动信号由垂直和水平安装的电涡流传感器拾取；键相传感器采用电涡流传感器，可以提供相位和转速信号；这些信号经过信号调理箱处理后，送入数据采集系统.实验数据的时域波形如图9所示，其幅值谱如图10所示.转子发生由弯曲变形引起的不对中故障时，由于转轴内阻现象以及转轴表面与旋转体内表面之间的摩擦而产生的相对滑动，使转子产生自激旋转周期性振动，转子振动位移信号会产生一个以转频为幅值调制频率的高频分量，其振动频率为转子转频fr的两倍，常伴频率为转频fr的1倍频及高次谐波[17-19].由图9可以看出高频的分量信号被淹没在强大的背景信号中.从图10中主要看到的是与转频fr相关的基频分量，看不出不对中故障信息.为提取高频不对中信息，分别采用LILCD和LCD对实验数据进行分解，分解结果如图11和图12所示，2种方法分量I2包络谱分别如图13和图14所示.

由图11可以看出，LILCD方法对实验数据分解得到的第1个分量I1是高频背景噪声信号，第2个分量I2具有明显的调制特征，分量I3是与转频有关的背景信号，剩余信号R3是一些低频噪声.从图12中可以看出，LCD方法对实验数据分解得到的第1个分量I1也是高频背景噪声信号，第2个分量I2也能看出调制特征，第3个分量是与转频有关的背景信号；但分量I2，I3和R3出现了严重的波形失真.由图13所示LILCD分量I2的包络谱图可以看到明显的转频fr的2倍频和转频fr的1倍频及高次谐波成分，这与转子发生不对中故障时的频率特征相符合，因此LILCD分量I2的主要成分是不对中故障信号.图14所示的LCD分量I2的包络谱图未出现明显的转频2倍频，无法有效识别实验数据所包含的故障类型.

综上，相对LCD方法，LILCD能更为有效地将高频不对中信号从强大的背景信号中提取出来，实现不对中故障信号、背景信号和噪声信号的分离，从而实现转子故障诊断.

3 结 论

提出了基于Lagrange插值的局部特征尺度分解（LILCD）方法，给出了最优对称系数评价准则，对仿真信号和实验数据的分析结果表明：

1）使用仿真信号将LILCD方法与LCD方法进行对比，分析结果表明，LILCD方法在分量的正交性、精确性等方面要优于LCD方法.

2）将LILCD方法应用于转子不对中故障信号的分析，能将高频不对中故障信号从强大的背景信号和噪声中提取出来，有效地实现了转子不对中故障的诊断.

3）LILCD不需要预测和限制待分析信号的形态特征或信息，是一种自适应时频分析方法.

论文提出的LILCD方法可有效地应用于机械设备故障诊断.尽管如此，该方法仍有其不足之处，如LILCD方法存在运行效率相对较低等问题，作者将进一步深入完善该方法的理论.

参考文献

[1] 程军圣， 马利， 潘海洋， 等. 基于EEMD和改进的VPMCD的滚动轴承故障诊断方法[J]. 湖南大学学报：自然科学版， 2014， 41（10）： 22-26.

CHENG Junsheng， MA Li， PAN Haiyang， et al. A fault diagnosis mehtod for rolling bearing based on EEMD and improved VPMCE[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences，2014，41（10）：22-26.（In Chinese）

[2] 楊宇，曾鸣，程军圣.局部特征尺度分解方法及其分解能力研究[J].振动工程学报，2012，25（5）：602-609.

YANG Yu，ZENG Ming，CHENG Junsheng.Research on local characteristic-scale decomposition and its capacities[J].Journal of Vibration Engineering，2012， 25（5）：602-609.（In Chinese）

[3] HUANG N E，SHEN Z，LONG S R，et al.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society of London，Series A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 1998， 454（1971）： 903-995.

[4] HUANG N E，WU Z. A review on Hilbert Huang transform： method and its applications to geophysical studies[J]. Reviews of Geophysics，2008，47（2）：1-23.

[5] PEGRAM G G S，PEEL M C，MCMAHON T A.Empirical mode decomposition using rational splines： an application to rainfall time series[J].Proceedings of the Royal Society A： Mathematical， Physical and Engineering Science， 2008，464（2094）：1483-1501.

[6] LEI Y，LIN J，HE Z，et al.A review on empirical mode decomposition in fault diagnosis of rotating machinery[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2013，35（1）： 108-126.

[7] 孟宗， 顾海燕， 李姗姗. 基于神经网络集成的B样条经验模态分解端点效应抑制方法[J].机械工程学报，2013，49（9）：106-112.

MENG Zong，GU Haiyan，LI Shanshan. Restraining method for end effect of B-spline empirical mode decomposition based on neural network ensemble[J]. Journal of Mechanical Engineering，2013，49（9）：106-112. （In Chinese）

[8] 程军圣，郑近德，杨宇.一种新的非平稳信号处理方法——局部特征尺度分解法[J].振动工程学报，2012，25（2）： 215-220.

CHENG Junsheng，ZHENG Jinde，YANG Yu. A nonstationary signal analysis approach—the local characteristic-scale decomposition method[J].Journal of Vibration Engineering，2012，25（2）：215-220.（In Chinese）

[9] ZHENG Jinde， CHENG Junsheng， YANG Yu. A rolling bearing fault diagnosis approach based on LCD and fuzzy entropy[J]. Mechanism and Machine Theory， 2013， 70： 441-453.

[10]ZHENG Jinde，CHENG Junsheng，YANG Yu.Generalized empirical mode decomposition and its applications to rolling element bearing fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2013，40（1）：136-153.

[11]杨宇，曾鸣，程军圣.一种新的时频分析方法——局部特征尺度分解[J].湖南大学学报：自然科学版，2012，39（6）： 35-39.

YANG Yu， ZENG Ming， CHENG Junsheng. A new time-frequency analysis method—the local characteristic-scale decomposition[J].Journal of Hunan University：Natural Sciences，2012，39（6）：35-39.（In Chinese）

[12]ZHENG Jinde，CHENG Junsheng，YANG Yu. Generalized empirical mode decomposition and its applications to rolling element bearing fault diagnosis[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 2013， 40（1）： 136-153.

[13]梁立孚，宋海燕，郭慶勇.应用Lagrange方程研究刚弹耦合动力学[J]. 哈尔滨工程大学学报， 2015， 36（4）： 1-6.

LIANG Lifu，SONG Haiyan，GUO Qingyong.Research on rigid-elastic coupling dynamics using Lagrange equation[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2015，36（4）：1-6.（In Chinese）

[14]GUI Qiaoxu.The average errors for lagrange interpolation on the wiener space[J]. Acta Mathematica Sinica，2012，28（8）：1581-1596.

[15]RILLING G， FLANDRIN P， GONCALVES P.On empirical mode decomposition and its algorithms[J]. IEEE-Eurasip Workshop on Nonlinear Signal and Image Processing NSIP，2003，3：8-11.

[16]秦磊，马景义，谢邦昌.含有自适应筛选系数的广义经验模态分解方法[J].数理统计与管理，2013，32（6）： 1002-1011.

QIN Lei，MA Jingyi，XIE Bangchang.Generalized empirical mode decomposition with adaptive sifting parameter[J].Journal of Applied Statistics and Management，2013，32（6）：1002-1011.（In Chinese）

[17]孙斌，刘立远，雷伟.基于正交局部保持映射的转子故障诊断方法[J].中国机械工程， 2014， 25（16）： 2219-2224.

SUN Bin，LIU Liyuan，LEI Wei.Rotor fault diagnosis method on orthogonal locality preserving projection[J]. China Mechanical Engineering，2014，25（16）：2219-2224. （In Chinese）

[18]刘杨，太兴宇，赵倩，等.转子系统不对中碰摩耦合故障的动力学特性[J].东北大学学报：自然科学版，2013，34（4）： 564-568.

LIU Yang，TAI Xingyu，ZHAO Qian，et al.Dynamic characteristics of misalignment-rubbing coupling fault for rotor system[J].Journal of Northeastern University：Natural Science，2013，34（4）：564-568.（In Chinese）

[19]杨宇，杨丽湘，程军圣.基于LMD和AR模型的转子系统故障诊断方法[J].湖南大学学报：自然科学版，2010， 37（9）： 24-28.

YANG Yu，YANG Lixiang，CHENG Junsheng.Fault diagnosis approach for rotor systems based on LMD and AR model[J]. Journal of Hunan University：Natural Sciences，2010，37（9）：24-28.（In Chinese）