站在数学角度品读《画廊》

詹家鳍语

【摘 要】埃舍尔作为一名画家，在艺术界、哲学界乃至数学界、计算机界都声名显赫，而他自己最为得意的作品《画廊》更堪称惊世之作，其蕴含的数学原理十分耐人寻味，本文将站在数学的角度分析这幅作品。

【关键词】埃舍尔；《画廊》；Droste Effect；Mathematica

凡是瞻仰过埃舍尔名作《画廊（print gallery）》（图1）的人，无一不为其奇妙之极的构图发出由衷赞叹。不只是“画中之画”那么简单，埃舍尔把画中的世界和画中画的世界无缝衔接在了一起。画面的效果正是Droste Effect，而最经典的Droste Effect并没有画中这样“怪异”的效果。

以图2为例对经典的Droste Effect做一个直观的表述。原图是一个黑边灰底方形，内含一个从左下指向右上的深灰色箭头，这类同于《画廊》中“画的世界”；接着从中截去一块（虚线围住的区域），这一块相当于《画廊》画面中心的留白，该区域中的内容之后再不会出现。对这块区域是有要求的：它的边长比例要与原图相同。称截取后余下的区域为D。

设图像中每一点的坐标在复平面上，即坐标（x，y）对应复数 x+yI（I是虚数单位），并有指数形式re？兹I，则如图2-1到图2-2所示的变化如下所述：

（*）D中的复数坐标取自然对数变换.

（**）沿x轴负方向平移，紧密排列（图2-1，也就是将图中的[1]平移为[2]、[3]），图像整体在纵坐标上的范围始终是2？仔，再代入以自然常数为底的指数函数。

最后得到如图2-2的效果，这也就是最经典的Droste Effect。在此基础上，若要得到《画廊》中的效果，只需在（*）与（**）之间做一个旋转加缩小的操作，使[1]的右上角与[1]的左下角横坐标相等并且[1]在纵坐标上的范围依旧保持。

《画廊》与经典Droste Effect的区别在于：自然对数是多值解析函数，对某区域内的复数取自然对数，任一单值分支再经以自然常数为底的指数函数（是单值函数，也是自然对数的反函数）都能还原该区域。如图2-2的经典Droste Effect的结果位于黎曼面的同一叶片上，而《画廊》的结果位于黎曼面的不同葉片上。事实上，《画廊》的画面虽然十分怪异，但又相当流畅，原因在于它蕴含着共形映射——这样的映射保证了在除去中央“奇异点”的余下区域具有保角的性质，能使“旋转角不变”和“伸缩率不变”。

所以，如果埃舍尔在画面中心的留白处不断进行作画，画面中想必会出现无数个看画的男孩，并且顺着他们的目光望去，眼中会出现无数个“自己”。

（注：本文制图使用软件mathematica10.2.0）

参考文献：

[1]Bruno Ernst. The magic mirror of M.C.Escher[M].Holland： Cordon Art， 2000.

[2]钟玉泉. 复变函数论[M]. 高等教育出版社， 2013.

[3]http：//escherdroste.math.leidenuniv.nl

[4]Campbell P J. More Mathematics Than Meets the Eye/Mathematician Fills in a Bland for a Fresh Insight on Art （Book）[J]. Mathematics Magazine， 2002， 75.

[5]Smit B D. The Droste-effect and the exponential transform[C]// 2005.

[6]http：//mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html.

[7]https：//en.wikipedia.org/wiki/Print_Gallery_（M._C._Escher）.