（n+1）维Sine-Gordon方程的一类精确解

高晓红，段建生

（楚雄师范学院 数学与统计学院，云南 楚雄675000）

（n+1）维Sine-Gordon方程的一类精确解

高晓红，段建生

（楚雄师范学院 数学与统计学院，云南 楚雄675000）

在描述Sine-Gordon方程对应的背景问题时，非线状精确解往往比行波解更准确更深刻。为了得到两类（n+1）维Sine-Gordon方程的非线状精确解，该文先利用拟设法和变量分离法求出（1+1）维Sine-Gordon方程的一类非线状精确解，再利用线性变换把两类高维Sine-Gordon方程转换成（1+1）维Sine-Gordon方程，从而得到了高维Sine-Gordon方程的呼吸孤子解和钟形孤子解等一类精确解，这些新精确解都具有代表性。

Sine-Gordon方程；拟设法；变量分离法；非线状精确解；线性变换法

在文献[1-4]中，（1+1）维的非线性物理方程

被称为Sine-Gordon方程，它可以看作是双Sine-Gordon方程的一个特殊情形。早在19世纪时，研究者就已经从微分几何学中导出了这个偏微分方程。随着时间的推移，人们发现有许多物理问题都可以由该方程描述，如结晶断层的传播，晶体位错，磁旋波在磁材料中的传播以及两相介质中激光脉冲的传播，等等。此外，方程中的sinu在不同的物理背景中表示不同的物理量，如在Josephson中继传输线问题中，sinu表示穿过两超导体之间绝缘体的Josephson电流，而在晶体位错的研究中，sinu与原子排列的周期结构相关[1]。由于该方程在非线性数学物理领域中的应用很广，所以它的精确解备受人们关注[2-7]。（n+1）维Sine-Gordon方程

是方程（1）的高维推广，带扰动项α2cosv的（n+1）维Sine-Gordon方程

也称之为广义（n+1）维Sine-Gordon方程，其中，α1与α2中至少有一个不为零。有关方程（2）和（3）精确解的研究不是很多，有研究者曾经用辅助方程法和动力系统法得到了它们的一些行波解（即线状精确解）[8-9]，对于非线性精确解则很难找到相关文献，即使对方程（1），它的非线性精确解也只出现在文献[1]等少量文献中。笔者先借鉴和拓展文献[1]中的方法，研究方程（1）的非线性精确解，再采用线性变换把方程（2）和（3）变为方程（1），从而得到方程（2）和（3）的一类非线性精确解。

1 Sine-Gordon方程的精确解

在文献[1]中，研究者设方程（1）的解为

并给出了一个呼吸孤子解，其中，f（x）和g（t）为满足一定条件的二阶可导一元函数。下面采用文献[1]中的研究方法，通过细化计算过程，给出方程（1）的一类精确解。

首先，分析作为方程（1）的解，方程（4）中的f，g应满足的基本条件，已期找出方程（1）的一类精确解。由方程（4）可知

把（12）-（15）式代入（5）式的左边，可以看到与（5）式的右边恒等，这说明，通过求出满足（12），（13）式的f与g，就可得到方程（1）的精确解。此外，（12）与（13）式是两个椭圆方程，用初等解法是不可能求出它们的通解的，只有当α，β，γ取某些特殊值时，才可以求出f与g的一些特解。

下面，仅就五种情形来讨论特解的情况。

（1）当γ＝0，α＝1时，由（12），（13）式得

经过一一验证，上述五种情形中的f与g分别满足方程（12）和（13），还注意到u1和u9与文献[1]中的结果完全一致。

文献[10-12]等研究表明，如果一个偏微分方程具有tan-1形式的解，那么也有可能出现cot-1形式的解，所以再令，经过完全平行的计算，最终得到下列解

2 （n+1）维Sine-Gordon方程的精确解

文中求解方程（2）或（3）的基本思路是先通过线性变换将其转换为方程（1），然后利用第1节结果得到方

则方程（3）变为vxx-vtt=sin（v+β），再令v+v0=u，则方程（3）也最终变为了方程（1）。这样由上一节的结果，就可以得到方程（2）或（3）的精确解。例如，根据前面给出的方程（1）的解u7和u12，很容易就得到方程（2）的呼吸孤子解

其余的解不再一一列出，感兴趣的读者可以自己给出。

3 结语

在描述非线性的实际问题时，非线状精确解比线状精确解（行波解）更具有优势，但求非线状精确解的方法却非常少，计算量也很大，无论是国内还是国外，有关非线状精确解的研究结果少之又少。文中参照并拓展了文献[1]中的变量分离法，成功地把（1+1）维Sine-Gordon方程中的两个量x与t分开，在充分考虑参数α，β和γ自由变化的基础上，尽可能多的给出了（1+1）维Sine-Gordon方程的精确解，为得到高维Sine-Gordon方程的非线状精确解提供了基础。值得指出的是，文献[1]和文中所用的变量分离法技巧性很强，它远比常微分方程中的传统意义上的变量分离法要复杂得多，不容易被推广使用，但在求解Sine-Gordon方程时，却显示出非常好的优越性。

[1]李志斌.非线性数学物理方程的行波解[M].北京：科学出版社，2007：14-17.

[2]娜仁.双Sine-Gordon方程的新的精确行波解[J].内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2007，36（1）：22-24.

[3]李自田.Sine-Gordon方程的新精确弧波与周期弧波解[J].成都大学学报（自然科学版），2010，29（2）：112-114.

[4]WAZWAZ A M.The tanh method：exact solutions of the Sine-Gordon and the Sinh-Gordon equations[J].Applied Mathematics&Computation，2005，167（2）：1196-1210.

[5]范建华，闫杰生.Sine-Gordon方程的精确解[J].商丘职业技术学院学报，2004，3（6）：11-13.

[6]套格图桑.Sine-Gordon型方程的无穷序列新精确解[J].物理学报，2011，60（7）：1-13.

[7]闫志莲.广义双Sine-Gordon方程的新精确解[J].安徽工业大学学报（自然科学版），2009，26（1）：92-95.

[8]套格图桑，斯仁道尔吉.（n+1）维双Sine-Gordon方程的新精确解[J].物理学报，2006，27（5）：86-89.

[9]GENG Yixiang，HE Tianlan，LI Jibin.Exact travelling wave solutions for the（n+1）-dimensional double Sine-and Sinh-Gordon equations[J].Applied Mathematics&Computation，2007，188（2）：1513-1534.

[10]RODRIGO M，MIMURA M.Exact solutions of a competition diffusion system[J].Hiroshima Mathematical Journal，2000，30（2）：257-270.

[11]PENG Yanze，KRISHNAN E V.New exact solutions for the cubic-quintic nonlinear schräodinger equation，commun[J].Math Sci，2007，5（2）：243-252.

[12]BISWAS A，ISMAIL M S.1-Soliton solution of the coupled KdV equation and Gear-Grimshaw model[J].Applied Mathematics&Computation，2010，216（12）：3662-3670.

A class of exact solutions to the（n+1）dimensional Sine-Gordon equation

GAO Xiaohong，DUAN Jiansheng
（School of Mathematics and Statistics，Chuxiong Normal University，Chuxiong 675000，China）

Nonlinear exact solutions to the Sine-Gordon equation are always more exact and profound than travelling solutions when describing its related backgrounds.In order to obtain nonlinear exact solutions to two classes of（n+1）dimensional Sine-Gordon equations,a class of nonlinear exact solutions to（1+1）dimensional Sine-Gordon equation was first found out by the ansatz method and variable separation method.Then,under suitable linear transformations,the high dimensional classical/generalized Sine-Gordon equations were reduced to the（1+1）dimensional one,and so a sort of solutions including the breather-soliton and the bell-soliton ones to these high dimensional equations was obtained.These solutions obtained here are all typical.

Sine-Gordon equation；ansatz method；variable separation method；nonlinear exact solution；linear transformation

责任编辑：谢金春

O175.2MR（2010）Subject Classification：35K57；92B05；35C05

A

：2096－3289（2017）02－0012－05

2016－07－20

国家自然科学基金资助项目（11261001）

高晓红（1983-），女，山西柳林人，讲师，硕士，研究方向：应用数学与计算数学。