基于物态方程的体积弹性模量随压强变化关系的研究

邢玲玲，杨 欢，张穗萌，张 刚

(1.皖西学院 电气与光电工程学院，安徽 六安 237012；

基于物态方程的体积弹性模量随压强变化关系的研究

邢玲玲1，杨 欢2，3，张穗萌2，张 刚1

(1.皖西学院 电气与光电工程学院，安徽 六安 237012；

2.皖西学院 原子分子与光学应用研究中心，安徽 六安 237012；3.皖西学院 实验实训教学管理部，安徽 六安 237012)

通过将物态方程(EOS)对体积或压强求微分可得到体积弹性模量与体积的变化关系，分别选用Birch方程、Vinet方程、Tait方程以及Shanker方程计算了Nacl，H2，NaI，ε-Fe，MgO，Li2O的等温体积弹性模量，并将理论计算结果与实验数据进行对比，对这几种物质的体积弹性模量随压强变化关系进行了研究，进而对四种方程的适用性进行了探讨，研究结果表明：Birch方程与Shanker方程的理论计算结果与实验数据符合的最好，适用范围也最广。

弹性模量；物态方程；高压

深入细致地研究弹性模量随压强和温度的变化规律,对于研究地球、其他星球内部矿物质以及固体材料在高温高压下的热弹性性质都具有重要的意义，因此，弹性模量的研究引起了许多学者的重视[1-3]。实验研究结果表明固体受到压强作用下的等温体积弹性模量BT是体积和压强的函数，而获得体积弹性模量对压强或者体积的依赖关系通常有两种途径：一是根据实验数据唯象地提出体积弹性模量关系式；二是由物态方程(EOS)对体积或压强求微分进而得到体积弹性模量对体积的依赖关系。因此，如果知道物态方程，就能计算出等温体积弹性模量。本文选用几个比较著名的、应用范围比较广泛的等温物态方程：Birch方程、Vinet方程、Tait方程以及Shanker方程，对结构简单的Nacl、H2、NaI、ε-Fe、MgO、Li2O等的等温体积弹性模量进行了理论计算，并将计算结果与实验数据进行了比较，对上述四种方程的适用性进行了探讨和分析。

1 理论计算

等温体积弹性模量BT定义式为：

(1)

1.1Birch方程

Birch在前人研究工作的基础上，发展并完善了有限应变理论，提出了著名的Birch有限应变理论及Birch物态方程[4]

(2)

(3)

1.2Vinet方程

Vinet等人利用晶体结合能与原子间距约化长度的普遍关系，得到一个对金属晶体共价化合物离子晶体固态非极性气体等都适用的EOS,常被称为普适态方程[5](UEOS或VEOS)：

(4)

(5)

1.3Tait方程

Tait方程是经验物态方程[6]，形式如下：

V/V0=1-aln(1+bP)

(6)

(7)

(7)式对体积求导即可得到体积弹性模量：

(8)

1.4Shanker方程

Shanker等人[7]从离子势出发，利用短程排斥力常数的定义，结合倒置斥势与指数排斥势函数的优势，提出了短程力常数与体积压缩的唯象关系，得到了一个新的等温物态方程：

(9)

1949年2月9日，翦伯赞在金毓黻长子金长佑的陪同下来探访金毓黻，翦伯赞谈到“中共方面极注重研究历史”，委托金毓黻帮助联络在北平的史家同行进行座谈。金毓黻是日日记中记载：“翦君著《中国通史》已成首次两册，系用唯物史观立论。往在重庆，佑儿首为印行，销路颇佳，因此余亦得识翦君。”[1](第9册，P6767)[注]①1949年2月9日翦伯赞来访，见“翦君来访系今日事，误记于昨日(2月8日)”(第9册，第6768页)。 翦伯赞《中国通史》是金长佑主持的五十年代出版社承担印刷的，因而金毓黻、翦伯赞二人得以相识，由此得以近距离接触马克思主义史家。

(10)

2 结果与讨论

表1 计算中所需要的参数[8-13]

表2 Nacl在(298 K)不同压强下的体积弹性模量BT的理论预测值

表3 H2在(4.2 K)不同压强下的体积弹性模量BT的理论预测值

表4 NaI在(300 K)不同压强下的体积弹性模量BT的理论预测值

表6 MgO在(300 K)不同压强下的体积弹性模量BT的理论预测值

表7 Li2O在(300 K)不同压强下的体积弹性模量BT的理论预测值

2.1 对于Nacl晶体

如表2所示，对于Nacl而言，在压强不超过10 GPa，V/V0不低于0.791时，Birch方程，Vinet方程，Tait方程以及Shanker方程的计算数值与实验数据均符合得很好。在压强高于10 GPa，V/V0小于0.791时，四种方程中的Vinet方程和Tait方程式的计算数值与实验数据仍然符合得较好，相比较而言，Shanker方程尤其是Birch方程的计算数值与实验数据偏差较大，并且压强越高，V/V0越小，理论计算结果与实验数据相差越明显。由此可见，在压强低于10 GPa时，Birch方程，Vinet方程，Tait方程以及Shanker方程包含的势函数形式对Nacl晶体是适用的，并对实验数据给出了合理的描述；在压强高于10 GPa时，Shanker方程尤其是Birch方程包含的势函数形式不能对NaCl晶体实验数据给出合理的描述，而此时Vinet方程和Tait方程包含的势函数形式对Nacl晶体仍然保持较好的适用性。

2.2 对于H2

由表3可见，对于H2，在本文所研究的温度和压强范围内，总体来说四种方程中的Shanker方程理论计算数值与实验数据符合得最好，而Birch方程的计算数值与实验数据的符合程度次之。在压强低于0.74 GPa时，即V/V0高于0.55时，Vinet方程和 Tait方程的计算数值也能够对实验数据给出合理的描述；但是在压强高于0.74 GPa时，即V/V0低于0.55时，相对于Birch方程尤其是Shanker方程给出的理论计算结果而言，Vinet方程和Tait方程的计算数值与实验数据偏差较大。这些现象表明，在本文的研究压强范围内，Shanker方程和Birch方程包含的势函数形式对H2完全适用，对实验数据能够给出合理的描述；在压强不超过0.74 GPa时，Vinet方程和Tait方程包含的势函数形式对H2也适用，但是在压强高于0.74 GPa时，这两种方程给出的理论结果对H2适用性较差。

2.3 对于NaI晶体

由表4可见，对于NaI而言，压强10 GPa以下，V/V0大于0.731 7时，四种方程给出的计算数值均与实验数据符合得很好，相对而言Birch方程给出的理论结果与实验数据符合得最好，Shanker方程次之。在压强高于10 GPa时，这四个方程的计算数值与实验数据均存在较大偏差，相比较而言Birch方程给出了与实验数据更加符合的理论计算结果，Shanker方程次之，而Tait方程给出的理论计算数值与实验数据相差最大；另外这四种方程给出的理论计算数值与实验数据的差异在随压强的增加而增大。由此可见，在压强不超过10 GPa时，这四种方程包含的势函数形式对NaI晶体都适用；然而在压强高于10 GPa时，随着压强的增加，这四种方程包含的势函数形式对实验数据描述的合理性在逐渐变差，它们对NaI晶体适用性也逐渐变差。

如表5所示，对于ε-Fe晶体，在压强不超过56.2 GPa，V/V0大于0.817时，四个方程的计算数值与实验数据均符合得很好，其中Birch方程给出的理论计算数值与实验数据符合得最好；当压强高于56.2 GPa，V/V0小于0.817时，Birch方程的计算数值仍然能与实验数据很好地符合，而其它的三个方程的计算数值与实验数据均存在较大差异，尤其是Vinet方程和Tait方程的计算结果明显小于实验结果。因此，在本文研究压缩的范围内，Birch方程包含的势函数形式对ε-Fe是适用的，对实验数据给出了比较合理的描述；而其它的三个方程包含的势函数形式，在压强不超过56.2 GPa时，对ε-Fe是适用的，在压强超过这个范围时，压强越高，三个方程的适用性越差。

2.5 对于MgO晶体

由表6可见，对于MgO晶体，在本文探讨的温度和压强范围内，四种方程中，Birch方程以及Shanker方程给出的理论计算结果与实验符合得很好，并且当压强低于41 GPa，V/V0大于0.85时，Birch方程给出的理论计算结果与实验数据符合得最好，而当压强高于41 GPa，V/V0小于0.85时，Shanker方程给出了与实验数据更加符合的理论计算数值。相对上述两种方程而言，Vinet方程尤其是Tait方程给出的理论计算结果与实验数据偏差较大，并且这种偏差在压强较高时更加明显。可见对于MgO晶体，在四种方程中，当压强较低时Birch方程包含的势函数形式更加适用，而当压强较高时，Shanker方程包含的势函数形式则更加适用。

2.6 对于Li2O晶体

如表7所示，对于Li2O晶体，在本文研究的温度和压强范围内，四种方程给出的理论计算结果均能与实验数据很好得符合；就理论计算数据与实验结果的符合程度而言，在压强高于15 GPa，V/V0小于0.883时，Birch方程的理论计算数值与实验结果符合得最好，Shanker方程次之，Tait方程给出的计算数值与实验数据相差最大。可见，在本文研究的压强范围内这四种方程中包含的势函数形式对Li2O晶体都是适用的，其中Birch方程对实验数据给出了最合理的理论描述，对Li2O晶体适用性也最好。

3 结论

本文分别选用Birch方程、Vinet方程、Tait方程以及Shanker方程探讨了几种结构简单的Nacl、H2、NaI、ε-Fe、MgO、Li2O等物质的等温体积弹性模量。通过理论计算并和实验数据进行比较和分析发现，在压强较低时，这四个物态方程给出的理论结果均能与实验数据很好地符合，对于不同的物质均具有一定的适用性。总体而言，在本文研究的温度和压强范围内，Birch方程给出的理论计算结果与实验数据符合得最好，适用范围也最广，Shanker方程次之，Tait方程给出的理论计算结果在高压情况下与实验数据相差最大。因此利用Birch方程以及Shanker方程可以研究不同类型的固体的压缩性、非谐性质参量及各阶压强等。

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Study on the Relationship between Bulk Modulusand Pressure based on Equation of State

XING Lingling1, YANG Huan2 ,3, ZHANG Suimeng3, ZHANG Gang1

(1.SchoolofElectricalandOptoelectronicEngineering,WestAnhuiUniversity,Lu’an237012,China;2.ResearchCenterofAtmosandMoleculesandOpticalApplications,WestAnhuiUniversity,Lu’an237012,China;3.DepartmentofExperimentandPracticalTrainingManagement,WestAnhuiUniversity,Lu’an237012,China)

According to the equation of state (EOS) on the volume or pressure differential can be dependent on the bulk modulus and volume, the isothermal bulk modulus of Nacl，H2，NaI，ε-Fe，MgO and Li2O were calculated with Birch equation, Vinet equation, Tait equation and Shanker equation. The calculated results are compared with the experimental date. The relationship between the bulk elastic modulus and the pressure of these materials is studied. The applications of the four equations are discussed. It is found that calculated results with Birch equation and Shanker equation in agreement with the available experimental data.Key words: Modulus; equation of state; high pressure

2017-03-21

安徽省高等学校省级自然科学研究重点项目(KJ2016A749)；皖西学院校级科研项目(WXSK201629)；安徽省教育厅自然科学研究重点项目(KJ2012A275)；安徽省高等学校省级自然科学研究重点项目(KJ2017A406)。

邢玲玲(1981-)，女，安徽太湖人，硕士，助教，研究方向：原子与分子间相互作用势及物性。

O521.2

A

1009-9735(2017)02-0063-04