适时“转化”，发展学生数学思维

江苏省扬州市扬子津小学 陈晓雨

适时“转化”，发展学生数学思维

江苏省扬州市扬子津小学 陈晓雨

转化思想是分析问题、解决问题的一种基本数学思想。在“2016-2017学年度1-6年级数学下教学指导意见”中就有提到“利用图形的转化，感悟转化是解决问题的有效策略”。布卢姆在《教育目标分类学》也给出明确定义：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，即在研究数学问题时将特殊转化为一般，把整体转化为局部，将高级转化为低级等。它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，是一种思想方式的转换。

一、特殊与一般，认识属性

任何客观事物都具有特殊和一般两面性。特殊既存在于一般性中，又反映着一般的某些属性。运用转化思想，既可以实现一般向特殊的转化，使需要解决的具有一般性的问题转化为特殊形式来解决，也可以运用特殊向一般的转化，通过解决一般性问题而使得特殊问题得到解决。

当学生遇到某些特殊问题很难解决时，可把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种解决问题的思想为一般化思想。例如苏教版六年级下册练习十四第三题：计算右图图形的周长。

这道题明显是要将特殊问题转化成一般问题。这是一个特殊图形，可以将这个特殊图形转化成三个半圆的图形进行求解。

对于某个一般性的数学问题解决起来十分困难时，可以先解决特殊情况，从研究一般对象转变为研究特殊对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种解决问题的思想为特殊化思想。特殊化思想在小学阶段应用的并不多，仅仅在苏教版四年级下册中提及，由“等边三角形，直角三角形的三个角度之和为180°的特殊情况推广到“所有三角形的内角和为180°。

一般化思想与特殊化思想是数学中极其重要的思想，人类寻求自然界法则往往首先是从特殊的现象中了解到规律，然后再推广到一般规律。小学培养特殊与一般的思想是让学生善于发现，善于从普通的事物中发现特殊之处。

二、整体与局部，分解组合

解决整体与局部之间的问题有化整与拆分两种手段，化整是指将问题看成一个整体，进而研究整体形式、整体结构、整体所具有的性质来解决问题，这种手段可以简化步骤，得到该整体各个部分所共有的性质。拆分是指讲一个整体看成由多个局部构成，通过研究局部来得到各部分内部具体的性质， 通过局部各部分之间的关系得到整体的性质。例如下面这个将局部化整的问题：苏教版五年级下册数学教材练习十九（如右图）：正方形的面积为8平方厘米，求涂色部分面积是多少平方厘米？

学生在求解这道问题时是通过正方形的面积得到边长，而边长等于圆的半径，通过半径再求出圆的面积进而求解出涂色的面积。

如果这道题的“正方形面积”是可以开方的，如4或16，那么学生可以十分简单地求出最后的解，而经过简单的变换“正方形面积为8平方厘米”则难倒一大批学生。因为学生们往往由于正方形的面积是8平方厘米，求不出开方后的结果（√8=2√2≈2.828，小学内容未涉及根号），也就得不出圆的半径，求面积更无从下手，此时就可以发现，虽然学生知道这道题怎么求，但是他们不知道将局部数值看成整体代入式中，局限于先求半径再求出圆的面积。假若学生知道局部化整的话，他们完全可以绕开求解圆的半径，具体解决如下：

圆的面积：S=r·r·π，·

正方形的面积：S= r·r=8，

由此可见圆的面积就是8π，进而可以得出涂色部分面积是6π。在分析问题过程中发现，正方形的面积是可以带入的，从而省去了求解边长这一中间步骤。

化整与拆分是学生必须要具备的能力，在小学及早培养转化意识，可以让他们拥有更灵活的解决问题的手段。

三、高级与低级，化难为易

有些问题看起来可能十分复杂，而再复杂的问题也是由简单问题组成的，解决数学问题需要将问题分解成简单问题再进行解决，如解方程所用的消元、降幂以及解决空间问题的降维等方法，均可使问题简单化。小学中的主要应用是将高级图形转化成低级图形，从而解决问题。

例如苏教版五年级下册数学教材练习十九（如右图）：

先在图中量出需要的数据（取整毫米），再计算涂色部分面积。这道题绝大多数学生可以做得出来，只需要两个半圆相减即可。

下面这道题是由上题变形而来的题型，很明显难度增加了。

如右图，若已知涂色面积为π，求解未涂色区域面积。

求解过程如下:

将这个高级图形转化成简单图形，要求未涂色面积，需要先通过1/4圆求出半径，然后再求出小半圆面积，用涂色减去小半圆区域就是未涂色区域面积。

由题意得R²＝4π/π=4，解得R=2（大圆半径），则r=R/2=1（小圆半径），S=r²π=π（小圆面积），S/2=π/2（小半圆面积），于是未涂色区域面积为π－π/2=π/2。

由高级变为低级的目的是将困难问题变为简单问题，这是解决数学问题最基本的方法，虽然每一位学生都懂，但由于手段有限不知如何简化，所以学会简化过程是一个长期积累的过程。

总而言之，转化方法有许多途径，涉及数学的多个领域，越早让学生接触到转化思想，就越早可以让学生的思维变得灵活，解决数学问题的能力越强。