三维不可压Boussinesq方程恰当弱解奇异点集的Minkowski维数

李圆

(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭411100)



三维不可压Boussinesq方程恰当弱解奇异点集的Minkowski维数

李圆

(湘潭大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭411100)

研究三维不可压Boussinesq方程恰当弱解的部分正则性，给出恰当弱解在某点正则的充分条件，并通过此条件及相关的能量不等式和插值不等式推出奇异点集的Minkowski维数≤95/63.

Boussinesq方程；恰当弱解；部分正则性；奇点；Minkowski维数

dimension

0 引言

考虑在区间ΩT=Ω×Ι=▯3×(-T,0)上三维粘性系数和热传导系数均非0的Boussinesq方程即

(*)

流体方程的部分正则性的研究有着悠久的历史.Leray[1]证明了N-S方程弱解的全局存在性，并发现在大部分时间，弱解的正则性比想象中的要更正则，且非正则时间构成的1/2维Hausdorff测度为0. Scheffer[2-3]证明了N-S方程弱解的局部正则性，C.K.N[4]对scheffer的结论继续拓展，并证明了恰当弱解(满足局部能量不等式的弱解)在时空中的奇异点集的1维parabolic Haussdorff测度为0，林芳华[5]简化了C.K.N的证明.通常称这些工作为N-S方程解的部分正则性的研究.郭柏灵[6]讨论了Boussinesq方程的部分正则性，辛周平[7]讨论了MHD方程的部分正则性.Choe[8]考虑N-S方程和MHD方程奇异点集在经变换后的Hausdorff测度，Youngwoo Koh[9]讨论了N-S方程和MHD方程非正则点集的Minkowski维数.笔者考虑Boussinesq方程恰当弱解的时空非正则点集的Minkowski维数.

定理1 对任意的γ<10/63,存在ε<1，ρ0<1,若当0<ρ<ρ0，

(1)

则称点z为正则点，其中ε仅依赖于引理4中的ζ.

定理2 抛物柱体S的Minkowski维数小于95/63.

1 维数的基本定义

存在很多种方法衡量集合的复杂几何分布，其中最为常见的为Hausdorff维数和Minkowski维数，下面来回顾一下Hausdorff和Minkowski两种维数的基本定义：

(2)

如果极限存在，则称其为集合S的parabolic Minkowski维数.

通常情况下，同一集合S的不同分形维数一般来说都是不一样的，因为他们反映着不同的几何结构.由parabolic Hausdorff维数和parabolic Minkowski维数的定义可知

2 基本引理

首先回顾恰当弱解的定义

(3)

(4)

定义4 (scaled functional)定义

引理1(插值不等式) 对任意的 0

引理2(压力不等式) 对任意的 0

引理2的证明 我们考虑方程

(5)

其中p1满足

(6)

Δp2=0

(7)

因此我们可以得到以下关于q0的相关估计

其中c3为常数.把以上两个式子应用到第(6)式中，然后利用Hölder不等式得到

因此得到

将上式两边同时扩大3/2 倍后对时间t积分，随后再利用Hölder不等式得

(8)

由于p=p1+p2，则

(9)

因为p2为调和函数，故

两边同时对时间t积分得

(10)

即完成了引理2的证明.

引理3(温度不等式) 对任意的0

该引理的证明类似于引理1的证明，即把引理1证明过程中的v替换成θ即可.

引理4(正则性准备) 存在正常数ζ，如果存在正数r，使得

成立，则称点z为正则点.

引理4的证明参考文献[10]中Proposition 2.8的证明过程.因为文献[10]中证明的是N-S方程恰当弱解正则点的条件，并且发现当γ满足0<γ≤1/2时，N-S方程中的外力项f在证明Proposition 2.8所起的作用可以用本文中的θe3来代替.当我们以类似证明Proposition 2.8的方法证明出本文中的v在z点Hölder连续时，我们将会在第4节的第五步给vHölder连续时θ也相应Hölder连续，因此就得出了引理4的证明.

3 定理1的证明

定理1的证明 第一步：若存在ρ<ρ0使得

(11)

成立，其中ε和γ将在后面被定义，则

(12)

同理我们可得到

(13)

第二步：令k=1,2,…,N，

(14)

其中α，β将在后面被确定.迭代压力不等式，则有

因此根据引理4，我们只需证明

由此可知ε依赖于引理4中的ζ.

第三步：如果

RN=ρα-Nβ<2ρ

(15)

则利用Hölder不等式得

如果指数ρ非负，期望I有界，则应满足

(16)

利用插值不等式和(12)式，则有

因此

由Hölder不等式，温度不等式和(13)式，可得

因此

则

选取

(17)

则

II

选取Nβ=1/6，则有

II

如果ρ非负，若要求II有界则应满足

(18)

(19)

要想满足条件(15)式，则我们需满足条件α-Nβ-1≥0，因此即有

由于取定Nβ=1/6，则由(19)式可知

则上述方程为线性抛物方程，根据文献[11]中线性抛物方程弱解一节中的定理3.1.3可知以下结论成立，

故

由此可知，在vHölder连续处θ也Hölder连续，即完成了定理1的证明.

4 定理2的证明

即完成了定理2的证明.

[1] Leray J. Surle mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace[J]. Acta Math，1934, 63(1) ：193-248.

[2] Scheffer V. Partial regularity of solution to the Navier-Stokes equations[J]. Pacific J Math，1976，66(2) ：535-552.

[3] Scheffer V. Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations[J]. Comm Math Phys，1977，55(2) ：97-112.

[4] Caffarelli L, Kohn R, Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solution of the Navier-Stokes equations[J]. Comm Pure Appl Math，1982，35(6)：771-831.

[5] Lin fanghua. A new proof of the caffarelli-kohn-nirenberg theorem[J]. Comm Pure Appl Math，1998，51：241-257.

[6] Guo boling，Yuan guangwei. On the suitable weak solutions for the Cauchy problem of the Boussinesq equations[J]. Nonlinear Anal，1996，26( 8)：1367-1385.

[7] He Chen，Xin Zhouping. On the regularity of weak solution to the incompressible magnetohydrodynamic equations[J]. J Funct Anal，2005，227(1)：113-152.

[8] Choe H J，Yang M. Hausdorff measure of the singular set in the incompressible magnetohydrodynamic equtions[J]. Comm Math Phys，2015，336(1)：171-198.

[9] Koh Y，Yang M. The Minkowski dimension of interior singular points in the incompressible Navier-Stokes equations[J]. arXiv:1603.01007 [math.AP].

[10] Ladyzhenskaya O A, Seregin G A. On partial regularity of suitable weak solution to the three dimensional Navier-Stokes equations[J]. Math Fluid Mech，1999，1(4)：356-387.

[11] 伍卓群，尹景学，王春朋. 椭圆与抛物型方程引论 [M]. 北京：科学出版社，2003.

(责任编辑 赵燕)

The Minkowski dimension of interior singular points of suitable weak solutions of the three dimensional of incompressible Boussinesq equations

LI Yuan

(School of Mathematics and Computational Science， Xiangtan University，Xiangtan 411100,China)

We studied the partial regularity of the suitable weak solution of the three dimensional of incompressible Boussinesq equations.We obtained the sufficient condition of regularity for suitable weak solutions, combining this result and the related interpolation inequalities and energy inequalities,we obtained a conclusion that the Minkowski dimension of singular points set of suitable weak solution was less than 95/63.

Boussinesq equations; suitable weak solution; partial regularity; singular point; Minkowski

2017-02-26

李圆(1993-)，男，硕士生，E-mail: myfx93@sina.com

1000-2375(2017)03-0241-07

O175.29

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2017.03.006