分段函数、函数的可积性与原函数存在性问题分析

丁军猛

摘 要：在数学教学当中主要分为两部分教学内容，分别是函数和几何，由此我们可以这样说，函数内容占据着数学领域的半壁江山，在高等数学教学当中函数依然是非常重要的教学内容，特别是在关于函数的可积性与原函数的存在性关系上教师也曾反复多次强调二者并无联系，本文将主要讨论和分析分段函数、函数的可积性与原函数存在性的问题。

关键词：分段函数；函数可积性；原函数；存在性问题

自从微积分概念出现以来，在某种程度上把不定积分也就是原函数与定积分即函数可积的概念相联系起来，因此很多数学初学者便想当然的认为原函数的存在性和函数的可积性之间有着紧密的关系，也就是原函数存在则函数具有可积性，反之函数具有可积性那么原函数必定存在，但是经过分段函数的研究证明，函数的可积性与原函数的存在性之间并无半点联系，更没有初学者所想的相互关系。

一、分段函数的概述

分段函数从字面上看就是分为好几段的函数，虽然它被分为好几段但是仍然属于一个整体，也就是说分段函数是一个函数，并不是好多个函数，在任何一个函数当中都有自变量x和与之相对应的值域y，而分段函数则是根据自变量具体数值的不同它的取值范围也不再固定，是会随着自变量的改变而改变，也就是说在分段函数中的每一段函数的定义域合并在一起才是整个分段函数的定义域，同样每一段函数的值域合并在一起才是整个分段函数的值域。因为分段函数的特殊性，可以对函数的奇偶性、单调性、最小正周期、函数的最大值、最小值包括自变量的范围等都可以展开具体的讨论，解决分段函数的方法有很多，常见的有待定系数法、公式法和数形结合法等等。

二、函数的可积性

（一）可积函数的定义

在积分函数当中，可积函数分为两种，一种是勒贝格积分，另外一种叫做黎曼可积，也就是我们所说的黎曼积分。简单来说就是指若函数f（x）在[a，b]上存在积分，那么我们便认为函数f（x）在[a，b]上可积，也就是说函数f（x）在[a，b]上具有可积性。

（二）可积函数的充分条件

在函数的可积性当中有三条非常重要的定理，第一条是如果f（x）在[a，b]上具有连续性，那么我们可以认为函数f（x）在区间[a，b]上具有可积性；第二条是如果函数f（x）在[a，b]只有有限个第一类间断点，并且零测度集是该类断点，并且f（x）在[a，b]有界，那么我们则认为该函数此时具有可积性；第三条是若函数f（x）在[a，b]上不仅有界同时还具有单调性，那么此时该函数同样具有可积性。

三、原函数存在性

（一）原函数的存在定理

假设函数f（x）在[a，b]上具有连续性，那么在该函数中一定存在原函数，这就是原函数的存在定理。但是连续性并不是原函数存在的必要条件，也就是说该条件不能反推回去，即函数f（x）中存在原函数，但是我们并不能够认为函数f（x）在区间[a，b]上一定具有连续性。在有定于的区间上初等函数基本上都具有存在性，因此我们可以这样认为，大部分初等函数在它的定义区间中存在原函数。

（二）间断点同原函数的存在性

根据前文提到假设函数f（x）在[a，b]上具有连续性，那么在该函数上必然有原函数存在，我们可以推导得出，假设函数f（x）在[a，b]上没有连续性，但是有第二类间断点，那么我们仍然可以认为原函数可能具有存在性，也就是原函数可能存在；假设函数f（x）在区间[a，b]上没有连续性，也没有第二类间断点，但是有第一类间断点，那么原函数则必然不会存在。

四、函数的可积性与原函数存在性

（一）函数可积与原函数的存在性

根据可积函数的第一条定理，即如果f（x）在[a，b]上具有连续性，那么我们可以认为函数f（x）在区间[a，b]上具有可积性，也就是说具有连续性的函数必然会有原函数存在，也就是说变上限积分此时可以用来表示原函数，也就是如果函数f（x）在[a，b]上具有连续性，那么F（x）则一定是该函数在定义区间上的原函数。若是函数f（x）在[a，b]上有界并且只有有限个间断点，那么函数具有可积性，但是此时函数中有的间断点是第一类间断点，那么原函数在区间[a，b]上必然不会存在，当然，如果说函数f（x）在[a，b]上具有的间断点虽然是第二类，但是却是无限个间断点，那么同样原函数在区间[a，b]上也必然不会存在。还有第三种情况，即函数f（x）在[a，b]上具有连续性且同时具有单调性，那么我们可以这么说在函数f（x）中一定存在着原函数，但是假设函数函数f（x）在[a，b]上有单调性但是不具有连续性，如果此时函数中的间断点为第一类，那么同样原函数也必然不会存在。

例如说假设[f（x）=1，x≥00，x<0]讨论函数[]的可积性与原函数存在性。

因为[limλ-0（x）=1≠limλ-0（x）=0]，所以说x=0x是[]的第一类间断点，而当[x≠0]时，因为函数[]是连续的，所以[]在任何包含远点的区间上都不存在原函数，而[]在任何包含原点的区间上是可积的。

（二）原函数存在于函数的可积性

根据函数的可积性定理和原函数的存在定理我们可以看出，假如函数f（x）在区间[a，b]上具有连续性，那么该函数在区间内不仅具有可积性而且原函数也一定会存在，但是假如函数f（x）在区间[a，b]上没有连续性，那么即是在该函数中具有第二类间断点，也就是说原函数依然存在，但是并不一定代表着函数的可积性也同时存在，如果说函数f（x）在区间[a，b]上没有连续性，且有第一类间断点，那么即使该函数具有可积性，原函数也一定不会存在。

例如说假如[D（x）=1，x是无理数0，x是有理数]（Dirichlet函數），那么他可以在任一有限区间上，D（x）既没有原函数，也不可积。

但是其实任意实数都是Dirichlet函数的非无穷间断点，并且其无介值性，因此并不存在原函数；同时，可作二不相等的积分之和，因此，Dirichlet函数在任一有限区间上不可积。

在分段函数的补充说明之下，证明了函数的可积性与原函数的存在性之间并没有任何直接的相互联系，也就是说如果该函数具有可积性，那么原函数并不一定会有存在性；如果原函数具有存在性，那么函数并不一定也同时具有可积性，当然，还存在一种函数它既没有可积性也没有存在性，因此数学初学者在学习的过程中不必在纠结于函数可积性与原函数存在性之间的关系问题。

参考文献：

[1]马保国、王延军. 分段函数、函数的可积性与原函数存在性[J]. 大学数学，2009，02：200-203.

[2]陈妙琴. 关于分段函数、函数可积性与原函数存在性问题[J]. 福建教育学院学报，2007，07：109-110.