如何教才能做到“不重不漏”

文︳周怀君

如何教才能做到“不重不漏”

文︳周怀君

小学数学教材里有搭配、数线段、数角的个数之类的问题，学生常出现的问题是重复或遗漏。教学时，如何教才能使学生不出现重复或遗漏的错误呢？

学生为什么在计数时会出现重复或遗漏？首先要找的原因是老师的教。教“2件上衣，3条裤子，一件上衣与一条裤子搭配成一套，有几种搭配方法？”时，在学生完成了解答后，老师们常是这样总结的：我们做这种搭配题时，要做到有序思考，不重复、不遗漏。至于如何有序思考，如何才能不重复、不遗漏却没有了下文。事实上，老师如果教给学生思考问题的方法，这些问题就可得到解决。

首先是分类。上衣与裤子分为两类，上衣标上数字序号1、2，裤子标上字母序号A、B、C。标上序号，便于表达。

其次是连线。连线时，先从上衣1号开始，分别与裤子A、B、C连线，然后是上衣2号分别与裤子A、B、C连线（见图1）。这就是有序。有了这个序，才能保证不重复、不遗漏。

图1

最后是计数。最好采用分类计数的办法，即从上衣1号出发有3条线，从2号出发也有3条线，故共有3+3=6（条）线，也就是有6种搭配方式。当然，也可以一一数出线的条数是6，但这种方法不那么好，因为没有体现出前面分类的思路。

又如，甲、乙、丙3人从排成一排的8个位置中选择3个，甲不能站在最左端的3个位置，乙不能站在最右端的3个位置，丙不能站在两端。甲、乙、丙有几种站法？

做这个题时很容易出现重复或遗漏，因为甲、乙、丙站的位置受限制的条件多。怎么办呢？回忆波利亚写的《怎样解题》中的话：画个图，如何？将8个位置用数字1～8表示（如图2所示）。有了图，且标上了数字，就便于表达了。甲只能站4、5、6、7、8号位，乙只能站1、2、3、4、5号位，丙只能站2、3、4、5、6、7号位。

图2

若甲站4号位，则乙只能站1、2、3、5号位。这时，若乙站1号位，则丙只能站2、3、5、6、7号位。其他情况依次类推。将上述过程用图3表示就一目了然。

图3

这样，甲站4号位一共有17种站法。而甲站5号位与站4号位的站法是一样多，也是17种站法。

甲站6号位与7号位的站法也是一样多，都是21种，站8号位有26种，具体站法见图4。因此，一共有17+17+21+21+26=102（种）站法。

图4

从上述两个例子可以看出，要做到不重复、不遗漏，老师要指点防止重复或遗漏的方法。方法的获得，必须要有学生的独立思考与独立解答的环节作保证。因此，在教解这些题时，老师不能过多地讲解，而要让学生独立思索一阵子，再根据情况确定讲解的内容。

如上面选位置，学生先做几分钟，答案肯定五花八门，没关系，典型的错误有下面几种。

甲有5种站法，乙有5种站法，丙有6种站法，那么一共有5×5×6=150（种）站法。这里就包括了许多重复的站法。甲有5种站法，每种站法对应的乙就不是5种。从图3可以知道，甲站4号位时，乙就只有4种站法，不是5种。同样地，丙对应的每种站法就不是6种，从图3可以明显地看出。因此，出现了许多重复的站法。一旦做出结果后，要想找出重复的站法相当困难。所以，在解决计数问题时，选择思考的方法很重要，会影响到后面的思考。在小学阶段，建议老师们采用分类、逐步推进的办法，可以有效地解决计数难的问题。

（作者单位：汉寿县岩汪湖中学）

人教版小学数学教材五年级下册观察物体（三）的单元小结（如图1所示）中讲道：“根据三个方向观察到的形状摆小正方体，结果只有一种哦！”根据三视图摆小正方体，结果只有一种吗？笔者通过对几个例题的研究，发现这一结果不全面。

图1

例1一个由相同的小正方体木块组成的立体图形，从正面、左面、上面看到的平面图形如图2所示，你能摆出这个立体图形吗？

图2