运动学拟合程序KFFitter设计

中国原子能科学研究院 梁 浩

运动学拟合程序KFFitter设计

中国原子能科学研究院 梁 浩

根据运动学拟合的原理,用面向对象编程语言C++，开发了运动学拟合程序KFFitter． KFFitter具有简洁容易使用的应用接口和容易拓展的程序设计．该程序只依赖于数据分析框架ROOT，基本上是自完备(self-contained)的，很容易嵌入ROOT脚本中．

末态重建；运动学拟合；拉格朗日乘子法

1. 简介

在高能物理分析中，运动学拟合是常用的提高测量精度的手段。在高能物理分析中，将探测器重建的输出粒子经过喷注重建(jet clustering)，孤立轻子识别和初态光子识别后，被分析对象可以表示为喷注，孤立轻子或孤立光子。探测器重建能量动量时，重建算法没有考虑母粒子的动量-能量关系，即，也没有考虑反应过程的能量动量守恒条件。当考虑到测量的物理量的这些约束条件，可以对探测器重建的结果进行修正，以更接近真实值，从而提高测量精度。

我们开发了运动学拟合软件KFFitter。KFFitter是一个基于ROOT和面向对象编程语言C++的运动学拟合程序。KFFitter由于采用ROOT内置的矩阵操作，因而依赖于ROOT。 KFFitter程序实现简洁紧凑，可以直接包含进ROOT的C++脚本中。类似的软件包如MarlinKinf i t[1]采用C++开发，但是依赖于Marlin框架，不方便与ROOT协作；以及软件包Telesis[2]采用了面向过程的编程语言Fortran。

下面将介绍KFFitter的原理和方法，程序结构和运行结果。

2. 原理

运动学拟合采用一些模型无关的基本物理关系，来提供额外信息，即约束。在KFFitter中内置了三种运动学约束：

2.1 如果某些粒子衰变自某一个已知质量的粒子，那么这些粒子的总四动量的不变质量必须为，即。

2.2 如果存在两个同种类型粒子，但是该粒子的质量的还没有精确测量。那么两个粒子子的衰变产物的四动量和的不变质量相等，即。

2.3 如果反应初态的四动量已经知道，那么末态四动量之和也应为，即。注意，这种情况下共四个被约束的自由度。

假设分析对象共有个粒子（包括喷注，孤立轻子和孤立光子）。第个粒子的探测器重建的四动量并不一定满足这些约束条件。修正后的四动量应该，在满足约束条件的前提下，使得探测过程的似然度最高，其中为第个粒子的探测器重建的四动量的协方差。

我们采用参数来描述个粒子的能量和动量，其中。可以一般性的表示为，其中为的矩阵。总约束可以一般性的表示为，其中r为总被约束的自由度. 选取任意方便的参数, 对上式做线性展开得到，其中

根据拉格朗日乘子法[3][4], 在上面约束条件下, 使得最小的解为，其中而。在上面的处理中，由于线性展开是近似的，因此最终结果也是近似的。为了使得约束方程严格成立，我们采用迭代算法：将上一步产生的, 当做下一步的和；迭代这一过程直到或者迭代次数达到用户指定的上限。

3. 程序结构

KFFitter具有简单易用的用户接口。KFFitter具有关键的三个C++类：

3.1 KFParticle粒子类, 用于指定粒子的探测器重建的四动量和四动量的协方差.

3.2 KFConstrain 约束类, 是所有约束类的父类, 其子类实现不同类型的约束。其成员函数addParticle可以指定约束所作用的粒子。其三个子类KFMassContrain，KFMassEqualContrain和KF4MomentumContrain分别实现了第二节所描述的三种约束类型。

3.3 KFFitter 约束类, 调用KFParticle和KFConstrain的成员函数来统筹算法运行过程。其成员函数addParticle来指定所有参与拟合的粒子。调用其成员函数f i t可以进行拟合。

可见KFFitter只暴露高级的应用接口给用户，用户不需要处理矩阵的向量。KFFitter自身，完成矩阵维度，矩阵元，参数向量与粒子动量能量影射等人工处理容易出错的任务。另外容易被拓展，用户只需要编写KFContrain的派生类，即可添加新的物理约束。

4. 模拟以及拟合结果

我们在正负电子对撞机（CEPC）预研过程中的物理分析里，使用了KFFitter。我们分别对WW融合过程（）和希格斯辐射（）过程的模拟重建数据进行了运动学拟合。参与运动学拟合的对象共有两个，即两个喷注（对应）。约束条件为两个喷注的不变质量等于希格斯粒子的质量，即，其中和，分别为两个喷注的能量和动量。

运动学拟合之前和运动学拟合之后，WW融合过程和希格斯辐射过程的反冲质量谱如图表 1和图表 2所示，虚线表示希格斯辐射过程的反冲质量，实线表示WW融合过程的的反冲质量。反冲质量由计算。对于希格斯辐射过程，的反冲质量应该为粒子的质量。粒子的自然宽度. 当没有运动学拟合, 反冲质量谱全高半宽约为；当经过运动学拟合，反冲质量谱全高半宽约为。这表明经过运动学拟合，喷注的四动量更接近真实值。

图 表1 没有经过运动学拟合的反冲质量谱

图表 2 经过运动学拟合的反冲质量的谱

5. 结论

我们采用了C++编程语言，结合高能物理的需求，通过最大化似然度方法设计开发了运动学拟合程序KFFitter。KFFitter提供了简洁易用的应用界面，使得用户免于低级的矩阵操作．KFFitter只依赖于ROOT，基本上自完备的. 最后通过实践表明，KFFitter实现正确并具有实用价值。

[1]List B,List J. MarlinKinfit: An Object-Oriented Kinematic Fitting Package[J]. 2009.

[2]http://bes.ihep.ac.cn/bes2/software/BES-I/HTML/telesis.html

[3].Avery P.Applied Fitting Theory VI Formulas for Kinematic Fitting[J].CBX,1998.

[4]Yan L,Kang-Lin H E,Wei-Guo L I,et al.Lagrange multiplier method used in BESⅢ kinematic fitting[J].Chinese Physics C,2010, 34(2):204-209.