年四飞 (邮编:233400)
安徽省怀远第三中学
加强命题巧证不等式
——例说数学归纳法的间接应用
年四飞 (邮编:233400)
安徽省怀远第三中学
数学归纳法的实质在于:将一个无法(或很难)穷尽验证的与正整数n有关的命题转化为证明两个普通命题:(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.有些表面看来与数学归纳法无关(或不易直接用数学归纳法证明)的命题,如能将其推广或加强,转化为一个更强的命题,而加强后的命题用数学归纳法易于证明,这样原来的命题就间接地得到了证明.加强命题有两种方法:一是将命题一般化,二是加强结论.下面通过几个具体的实例,介绍这两种方法在证明某些特殊命题中的应用.
例1 已知a、b、c、d∈(0,1),求证:abcd>a+b+c+d-3.
分析 本题直接证明比较困难,考虑把命题一般化:若a1、a2、…、an∈(0,1),则a1a2…an>a1+a2+…an-(n-1)(n∈N*,n≥2).
下面用数学归纳法证明推广后的命题.
(1)当n=2时,由于a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,所以
a1a2>a1+a2-1,不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立,即当a1,a2,…ak∈(0,1)时,有
a1a2…ak>a1+a2+…+ak-(k-1).
那么,当n=k+1 时,由于a1a2…ak∈(0,1),ak+1∈(0,1),则
a1a2…akak+1=(a1a2…ak)·ak+1>a1a2…ak+ak+1-1>a1+a2+…+ak-(k-1)+ak+1-1=a1+a2+…+ak+1-k.
这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.
根据(1)和(2),可知一般化后的命题对任何大于1的正整数都成立.当n=4时命题自然也成立,所以原命题得证.
例2 若a1、a2、a3、a4、a5都是大于1的实数,证明:
16(a1a2a3a4a5+1)>(1+a1)(1+a2)(1+a3)(1+a4)(1+a5).
分析 把命题一般化,推广为:若a1、a2、…、an都大于1,则当n≥2时,有
2n-1(a1a2…an+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+an).下面用数学归纳法证明这个不等式:
(1)当n=2时,2(a1a2+1)-(1+a1)(1+a2)=(a1-1)(a2-1)>0,于是
2(a1a2+1)>(1+a1)(1+a2),所以不等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,即当a1,a2,…ak都大于1时,有
2k-1(a1a2…ak+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+ak).那么,当n=k+1时,
2k(a1a2…ak+1+1)-(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)>2k(a1a2…ak+1+1)-2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)=2ka1a2…ak+1+2k-2k-1a1a2…ak+1-2k-1a1a2…ak-2k-1ak+1-2k-1=2k-1a1a2…ak(ak+1-1)-2k-1(ak+1-1)=2k-1(ak+1-1)(a1a2…ak-1).
由于a1,a2,…ak,ak+1都大于1,故ak+1-1>0,a1a2…ak-1>0,所以
2k-1(ak+1-1)(a1a2…ak-1)>0.这样就有
2k(a1a2…akak+1+1)>(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1),
也就是说n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)可得,推广后的不等式对于n取任何大于1的正整数都成立.n=5时不等式自然也成立,所以原命题得证.
例3 已知n∈N*,n≥2,
分析 由于整个不等式不具有递推性,难于用数学归纳法证明.考虑将其结论加强为:
加强后的不等式用数学归纳法证明如下:
(1)当n=2时,不等式显然成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,就是
这就是说,当n=k+1时不等式也成立.
根据(1)和(2),可知加强后的不等式对任何大于1的正整数都成立.所以原命题成立.
下面用数学归纳法证明加强后的不等式:
(2) 假设n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,当n=k+1时
由(1)、(2)可得,加强后的命题对于n∈N*都成立,所以原不等式成立.
对∀n∈N*,都有an>1.
这就是说n=k+1时不等式也成立.
根据(1)和(2),可知加强后的不等式对于n∈N*都成立,所以原命题成立.
2017-01-13)