平面P波作用下半空间中三维洞室的动力响应

梁建文　胡淞淋　刘中宪　巴振宁

摘要：采用一种高精度间接边界积分方程法求解了平面P波入射下弹性半空间中三维洞室的动力响应。在精度检验基础上，以圆球形洞室为例，对地表位移动力响应和洞周动应力集中特征进行计算分析，并将三维模型解答同相应二维模型解答进行比较。研究表明，半空间中三维洞室周围波动特征十分复杂，位移和应力峰值及其空间分布特征强烈依赖于入射波频率、方向和洞室埋深。总体上，三维洞室上方地表位移放大效应要弱于二维情况，除个别频率外，标准化位移幅值在3.0以下；三维球形洞室X-Z截面内周向应力空间分布特征接近于二维情况，动应力集中幅度略大于后者。三维地下洞室对波的散射应该建立三维模型进行计算分析。

关键词：平面P波；洞室；散射；间接边界积分方程法；动应力集中

中图分类号：0347.4；U453.2

文献标志码：A

文章编号：1004-4523（2017）01-0155-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.021

引言

弹性波作用下地下洞室的动力响应一直是地下工程中引人关注的研究课题，问题可采用解析法或数值法求解。文献[1]采用波函数展开法研究了全空间中二维洞室在弹性波入射下的动应力集中问题。随后，文献[2]将解答推广到半空间，采用波函数展开法研究了平面SH波在半空间中二维洞室周围的散射问题。文献[3]采用渐进匹配法研究了平面SH波入射時地下二维洞室周围的动力响应问题。文献[4]利用直接边界元法研究了二维洞室对弹性波的动应力集中问题。文献[5]采用一种特殊的直接边界元法，研究了弹性半空间无限长地下洞室对斜入射体波和表面波的散射问题。考虑到天然土体的成层特性，文献[6]利用间接边界元法给出了弹性层状半空间中地下二维洞室对入射平面P波的散射解答，文献[7-8]采用相同方法，进一步研究了弹性层状半空间中无限长洞室对斜入射平面SH波的三维散射问题。

值得注意的是，以上的研究多建立二维或二维半模型进行求解，而对于半空间中三维洞室，目前的研究还比较少。文献[9]采用T-矩阵法研究了Rayleigh波入射下球形洞室附近地表位移响应。文献[10]采用直接边界单元法给出了球形洞室对SH波和Rayleigh波的散射。文献[11]则采用间接边界元法研究了层状弹性半空问中三维洞室对弹性波的散射问题。

近年来，一种间接边界积分方程法在弹性波散射领域取得了广泛的应用。文献[12-13]采用该方法研究了半空间中二维洞室对平面波的散射，文献[14]研究了三维凹陷地形对地震波的散射。本文基于该方法，结合半空间力源格林函数，求解了弹性半空问中三维洞室对平面P波的散射问题，通过与现有结果的对比，验证了方法的精度。在此基础上，将三维洞室解答同二维洞室解答进行了对比分析，从地表位移动力响应和洞室周边动应力特征两方面分别阐述了三维和二维模型存在的异同，并探讨了三维球形洞室对P波的散射特征。

1.计算模型。

如图1所示，半空间中球形洞室，半径为a，球心位于O1处，洞室埋深为d，入射波为平面P波，其人射角为θ。假定半空间介质为均匀、弹性和各向同性，剪切模量为u，拉梅系数为γ，介质中的横波和纵波波速分别为Cs和Cp，相应波数分别为Ks和Kp。根据本文方法，对问题求解时需引入虚拟波源面S，形状与洞室表面S一致，半径为Ro。

2.计算方法

本文采用的间接边界积分方程法是在边界附近设定虚拟波源面，散射波由虚拟波源的作用叠加而得，继而由边界条件建立方程求解得到虚拟波源的幅值。针对本文问题，首先计算自由场响应，然后求解三维半空间力源格林函数，将其作为模拟散射场的基本解，并由洞室表面零应力边界条件确定力源幅值，最后叠加自由场和散射场响应，求得总波场。

2.1基本解

半空间力源格林影响函数是指在半空间（无洞室存在）内部作用一个集中力时，半空间中任一点的动力响应。本文参考Lamb的求解思路，采用全空问叠加的方法，结合积分变换，在柱坐标系下求解了弹性半空问中作用三个方向力源的格林影响函数。

具体方法为：引入势函数，将稳态动力平衡方程转化为由势函数表示的波动方程，再将方程中所有参量对θ1，进行傅里叶变换以及Hankel变换，得到方程在波数域内的通解。然后，根据作用力平面位移和应力连续的边界条件，分别求得在地表对称位置处，两个同样大小埋深力源的全空间动力响应，并将二者在地表处进行叠加，所得残余应力反向加载到地表上，采用相同边界条件，求得地表作用力下的动力响应。最后将两部分的动力响应进行叠加，再对其进行Hankel和傅里叶的逆变换，得到频域内三维弹性半空间中埋置力源的格林影响函数。