有限长序列的定义及z变换的讨论

谭志存

摘要：本文在基于严格数学语言及给典数学理论的基础上，对《数字信号处理》教材中有限长序列的概念的定义指出不足，并就此问题进行了分析与讨论，给出有限长序列较为准确的定义，最后再对有限长序列的z变换给出严格的定义。

关键词：序列；z变换；收敛域

有限长序列是《数字信号处理》教材中z变换部分的内容，关于有限长序列的概念及其z变换在教材中各有说法，这些说法初看都是一致，但是仔细推敲后，发现其中存在不少问题，本文就对此问题进行分析与讨论。

1问题的提出

教材[1]对“有限长序列及z变换”是这样描述：

如果序列取非零值的区间是有限长的，称该序列为有限长序列。有限长序列可以用下式表示：

（1）

式中， 和 是整常数。该式表示有限长序列 从 到 的序列值不全为0，但该范围外序列值全为0。有限长序列的z变换为 （2）

如果序列取值小于无穷大，称该序列是有界序列，这里假设序列 为有界序列，收敛域如下

本人认为上述内容存在几方面问题，现进行讨论。

2分析与讨论

一、自相矛盾

在式（1）中， ，而在式（2）中 却可以取 和 ，即 。按照定义，应该是 。所以式（1）改写为

（3）

二、式（3）并不能符合有限长序列的定义“序列取非零值的区间有限长”。

若存在序列满足

非零值的区间长度是 ，那么按照有限长序列的定义（3），有限长序列 可以写成

（4）

可以看出，这里 ，

但是，按照有限长序列的定义（3），有限长序列 也可以写成下面的形式

（5）

这里 均是正整数，可以看出， 。同一个有限长序列有不同的 和 ，很明显用公式（3）作为有限长序列的定义式是不妥当的。同时，我们发现不同的 和 对z变换的收敛域是有决定性影响的，正如教材[1]中所述：

如果 且 ，则此时 ，那么z变换的收敛域应该是

如果 且 ，则此时 ，那么z变换的收敛域应该是

所以，对同一个序列的z变换收敛域会出现两种情况，也是不正确的，再次说明用公式（3）作为有限长序列的定义式是不妥当的。

因此，为了式（3）符合有限长序列的文字定义“序列取非零值的区间有限长”。由上述分析，可以将式（3）改写成：

（6）

所以，对于“有限长序列”的概念不能顾名思义，即“有限长序列”并不一定是“有限长的序列”，而是它取非零值的区间是“有限长”。

三、将“有限长序列”与“有界的有限长序列”两个概念混为一谈

教材[1]在获取有限长序列z变换的收敛域的一般形式是基于“假设序列 为有界序列”，那么按照经典数学理论，有限长序列 有界仅仅是它的一种情况，读者会问：“既然假设序列 为有界序列得到了它的z变换收敛域的一般形式，那么当序列 不是有界序列时，它的z变换又是怎样的呢”？可是教材中并没有对这一种情况进行说明。也就是说，它将“有界的有限长序列”z变换的收敛域当成了“有限长序列”z变换的收敛域，混淆了这两个概念。

综上所述，为了避免这一嫌疑，有两种途径可以解决：一是可以在定义有限长序列时，将“有界”这一约束条件加进去；二是在教材“假设序列 为有界序列”的基础上，再加上“假设序列 为无界序列”这一情况。这样能较好体现经典数学思想的严谨性。

四、有限长序列z变换的收敛域的具体表示不够严谨

在经典数学理论中，我们有

，而 无意义

也就是“零的非正數次方无意义”。

有限长序列z变换收敛域的具体形式，文献[1-5]全都一致，重写如下

（7）

（8）

（9）

我们知道有限长序列 的z变换的公式为

（10）

当 时，依据式（10）将它展开为

（11）

如果 ，式（11）变为

（12）

按照“零的非正数次方无意义”这一数学理论，式（12）中的z不能为0，而式（7）中收敛域可以取 （即 ）。因此式（7）应表述为：

或者表述为

（13）

更为简洁，因为在式（6）中已经隐含了 ，再由 肯定能推得 。

所以，由上面对式（7）的讨论，又可以将式（8）进行适当扩大，即

或者

（14）

对于式（9），可以变形为

（15）

综上所述，本文将有限长序列z变换收敛域更为严格的表示如下：

（16）

3结束语

本文对教材中两个问题进行的分析与讨论，都是基于经典数学理论。z变换及其收敛域作为《数字信号处理》课程中的重要内容，它的基础也应该建立在严密的数学理论之上。数学是严谨的，以大量数学推导为特点的《数字信号处理》也应该是严谨的。

参考文献：

[1]Monson H.Hayes， Digital Signal Processing [M]. The McGraw-Hill Companies 1999.P114.

[2]陈树新.数字信号处理[M].高等教育出版社， 2005. P58-59.

[3]丁玉美，高西全.数字信号处理（第二版）[M]. 西安：西安电子科技大学出版社， 2001. P43-45.

[4]丁玉美，高西全.数字信号处理[M]. 西安：西安电子科技大学出版社，2005. P51-57.

[5]程佩青.数字信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2001. P44-45.