关于函数Cauchy收敛准则的一些说明

摘要：本文研究了在数学分析中遇到的柯西收敛准则。它是判定极限存在性的理论，我们从概念上来分析理论的本质，并通过两个例子做了更透彻的说明。

关键词：Cauchy准则；极限存在性；函数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）15-0209-02

Cauchy收敛准则是整个分析学的基础，在华东师范大学版《数学分析》中，放到实数完备性的基本定理中，它不仅可以用来判定数列和函数的极限存在性，而且还为后面的级数收敛提供了判别方法。由于这个理论的抽象性，不容易理解，学生在学习的时候，总觉得无从着手，接下来我们将从概念的角度来阐述。

一、Cauchy收敛准则的概念

在数学分析教材中，对柯西收敛准则定义如下。

定理1.1：数列a收敛的充分必要条件是对任意的正数ε，总存在正整数N，使得当n，m>N时有|a-a|<ε。

定理1.2：设函数f（x）在邻域U°（x，δ′）有定义，f（x）存在的充分必要条件是对任意的正数ε总存在正整数δ<δ′，使得当

上述定理是研究函数或数列极限的存在性的基本定理，它的本质在于我们可以根据函数本身的特性来说明极限的存在性问题，它不同于极限的ε-N语言或ε-δ语言，需要确定极限的具体值，如要说明当x→x，sinx的收敛性，我们可以根据sinx本身的特性进行说明。而sinx本身具有什么特性呢？它具备对任意的

因此，可以根据这一特性来说明当x→x时，sinx的收敛性。

Cauchy收敛准则的理论在理论上近乎完美，然而在应用上局限性太大，因为要找到与柯西准则有关的函数本身特性非常困难，因而不太实用。

二、Cauchy收敛准则的应用

我们通过两个例子来说明Cauchy收敛准则的理论，这为从概念上对柯西准则的理解具有一定的实际价值。

例1：考察sin（x）的存在性。

解：基于前面的对函数sinx本身的特性，根据（1），我们对任意的正数ε，取δ=ε，使得当

由于Cauchy准则在应用上有局限性，常常用来寻找使函数或数列极限不存在的条件，由定理1.2可知。

定理2.1：f（x）不存在的充分必要条件是对存在正数ε>0，对任意的正数δ，使得存在

接下来，我们根据柯西准则的反命题来说明极限的不存在性。

例2：考察sin不存在。

分析：要利用定理2.1来说明上述极限的不存在性，我们的关键是确定 ，而这三个量之间又是相互制约的，因而存在许多不确定因素。根据命题2.1，判定极限不存在性的关键是对事先确定的ε，找到使得 。当然，这也对大家的数学直观性进行了考察。一般来讲，此处的ε，我们可以事先给定，并且使得其值要充分的小。我们可以取 來找到合适的 显然这样的数有很多，例如我们可以取 即可。这样的 ，是否是我们所要寻找的呢？根据定理2.1显然不满足条件，因为我们要使得 因此要选择的 与δ有关，故而，注意到sinx的周期性，满足条件的 有无限多个，而我们只需要找到两个就可以了。为此，我们可以假设 具有如下的形式： 这样我们可以通过控制n的值来使得 落在 此时这样的n满足n>既可。

解：取 ， 命题得证。

三、结论

我们从函数本身的本质特性来说明了柯西准则理论的本质，并通过两个例子来阐述了柯西准则的概念，使得学生更容易理解柯西准则的本质。当然在应用上，我们还可以结合Heine定理等理论进行说明，这在形式上更简单，我们在这里不再作进一步地讨论。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]崔万臣.谈柯西准则在数学分析中的作用[J].唐山师范学院学报，1999，（2）：7-8.

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