“换元法”在初中数学解题中的应用

贾永亮

(江苏省灌云县鲁河中学 222200)

“换元法”是现代初中数学解题教学当中，应用效果非常好的一种解题思路和方法，它主要是利用辅助元素的形式，来替换掉原有数学题目当中的一些元素，即通过初中学生自己设计新的变量的方式，替换掉原本分散的破碎条件，进而使其形成一个新的整体变量，并发掘出隐形条件，最终使得原本复杂的数学题目，变成了一道思路非常清晰、条件非常清楚的简单题目形式.数学是一种高等学科教育，它是所有学科当中，对于学生逻辑思维能力和转换思考能力要求最高的学科之一.因此，初中学生教师应当认识到换元法的教学效果，并且积极教学初中学生学习和掌握换元法，并最终能够将换元法在实际的数学解题当中使用出来，真正意义上地提升初中学生的数学解题能力和水平.

一、把握初中数学“换元法”的概念特点

“换元法”作为现代初中数学解题教学当中，各种方法中的一种解题方法，从方法应用理念上来讲，换元法实质上就是一种化归与转换的数学解题思想，它的关键应用手段就在于设立元素和转换元素.在日常的数学解题当中，很多初中学生会遇到这样的情况，原有问题的条件不足，或者原有问题的条件比较分散，如果直接对其进行已知条件的解析的话，很有可能会遇到解题困难，条件不足无法进行下去的情况.在这种情况下，“换元法”的效果便可以得以体现，初中学生可以根据换元法的解题理念，通过设计一个或者若干个新的“新元素”的方式，去到原有题目当中去替换掉“旧元素”，使得整个题目可以在原有的基础上加强联系，更好地理清思路进行解题求解.对于初中学生而言，“换元法”并没有那么的神秘，晦涩难懂，初中学生只需要抓住“换元法”的核心内容——“转化”，便可以实现对困难问题的简单化，或者将原有问题的不利条件转化为有利条件，进而达到最快最好解答题目的目的.与此同时，近年来我国教育部推行的“新课标标准”和素质教育当中，都明确地提出了现代初中数学的教学应当注重学生解题技能和实际应用能力的教学，而不是简单的理论知识灌输，因此，初中数学教师应当深刻地认识到“换元法”在初中数学解题教学当中的重要性，并且积极教会初中学生学习和掌握“换元法”，从而有效地提升初中学生的数学解题能力，提升初中学生的创新思维能力.

二、落实初中数学“换元法”的解题应用

下面以初中数学解题教学当中的因式分解解题的教学为例.因式分解是初中数学解题当中，非常常见的一种解题形式，它在初中数学解题知识点组成当中，占据着非常大的比例，因此，它对于学生数学知识点的掌握和培养，有着不可替代的作用.本文以苏教版初中二年级教科书当中的关于因式分解的例题教学为例，详细地分析“换元法”在因式分解当中的应用策略.

例题1 将以下题目进行因式分解：

(1)(x2+ 2x+ 4 )(x2+ 2x+ 8 ) + 4；

(2)(x+y)(x+ 2xy+y)+ (xy+ 1 )(xy- 1 ).

对于刚刚学习因式分解的初中学生而言，上述例题1中的两个问题在元素和解题步骤方面，是相对而言较为复杂的，想要一下子直接解析出来不是非常的容易，尤其是第二题，涉及两个未知元素，解题起来，是比较困难的.而通过应用“换元法”的解题方式，初中学生可以将题目当中的复杂元素进行简单元素代替，比如说，第二题当中，原本x、y、元素就已经有两个了，后面又多了xy的组成因素，解题非常困难，而这时，初中学生可以通过预设x+y=m，xy=n的方式，对其进行化繁为简，从而使得原本多项的多项式转化为简单的二元式，内部结构极大程度上地简化了，更加方便初中学生进行因式分解.

(1)解设x2+2x+4=y，那么通过计算可以得到x2+2x+8=x2+2x+4+4=y+4，这样，原式便可以转化为y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2.再将原本预设的x2+2x+4=y代入到(y+2)2当中，便可以得出(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4=(x2+2x+6)2.

(2)解设x+y=m，xy=n，那么通过换元法代入，原式这可以变为：

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)=m2+2mn+n2-1=(m+n)2-1.再将原本预设的x+y=m，xy=n代入到(m+n)2-1当中，便可以得出：(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1).

综上所述，“换元法”是现代初中数学解题教学当中，应用效果非常好的一种解题思路和方法，它对于初中学生的数学解题思维培养，数学解题能力的提高以及逻辑思维能力的强化等，都具有着不可替代的影响.因此，初中数学教师应当积极在初中数学解题的教学当中教学“换元法”，教会初中学生学习和掌握换元法，从而真正意义上地提升初中学生的数学解题能力和水平.

[1]严昌东. 例谈解题中换元法的应用[J]. 数理化解题研究， 2015(15).

[2]黄慧. 浅谈换元法及其应用发展思维能力[J]. 数理化解题研究, 2015(16).

[3]郑燕.整体思想与换元法[J]. 新课程(中学), 2015(11).