核心素养统领下的立体几何教材变革①(续)

章建跃

(人民教育出版社 100081)

3 继承基础上的发展与创新

3.1 找准问题，明确方向

从上述分析可以看到，我国立体几何教材在教学内容的精简、实用上已经做了大量工作，努力做到教材结构体系的严谨性，特别重视利用立体几何教材培养学生的逻辑推理能力，因此在定理的证明、例题解答上强调“已知—求证—证明”、“∵—∴”、“如果—那么”等等，重视严格的逻辑表达示范与训练.教材的语言表述精炼，没有“闲言碎语”，更没有“套话”“废话”.显然，在教材改革中，这些都是值得继承的优点.

然而，以往教材存在的问题也非常明显：无论是概念还是定理，基本上是直接呈现结论，“掐头去尾烧中段”，在“发现和提出问题”上几乎没有什么引导；以演绎的方式呈现定理的证明、例题的解答，以“示范+模仿”为主，在“如何用概念、性质解决问题”、“如何找到证明方法”、“解题思路是如何想到的”等上面几乎没有什么作为.

上述问题在2004年出版的“人教A版”教材中已经关注到，并进行了积极的改革，但离新一轮课改中提出的要求，即：帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的“四基”、“四能”；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用，尚有差距.为此，我们要在继承我国数学教材优良传统的基础上，全面落实立德树人的基本要求，充分挖掘数学学科特有的育人价值，以数学内容的内在逻辑为依据构建教材结构体系，努力揭示数学知识的发生、发展过程，并以学生认知规律为基础合理安排学习内容，从而实现学生数学核心素养的落地生根.

3.2 加强“获得数学研究对象”的过程

需要强调，“获得数学研究对象”是数学学习的第一步，其中的核心任务是获得基本概念，即要明确概念的内涵和外延.针对以往教材中存在的直接告诉概念的弊端，为了培养学生发现和提出问题的能力，形成用数学眼光观察世界的视角和方法，教材必须在“如何构建归纳概括过程，使学生通过自主的数学抽象获得研究对象”上加强思考.无论是教材编写还是课堂教学，都必须充分认识“获得研究对象”的重要性，因为这是“数学化”的关键一步，是后续一切学习的基础.为此，要注意通过恰当的问题情境，构建有利于学生观察与分析事物的数形属性、归纳共同本质属性并概括到同类事物中去的数学活动，让学生在具体情境中展开认识活动，并在“什么是几何对象的结构特征”、“如何观察”、“如何归纳”等方面加强引导，使学生经历完整的数学抽象过程获得研究对象.

例“基本立体图形”结构特征的认识.

我们把棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台和球叫做“基本立体图形”，认识它们的结构特征的过程就是获得立体几何研究对象的过程.所谓“结构特征”是指组成相应立体图形的基本元素(点、线、面)及其基本关系，而认识结构特征则需要经历一个从宏观到微观逐步精细化的过程.其中的要点概述如下：

数学基本思想立体图形组成元素之间的关系可以从不同角度进行刻画，因此其结构特征也可以有多种表现形式.要选择刻画一类立体图形的充要条件作为定义(包含的要素关系要尽量少，既有完备性又有纯粹性)，实现对物体的数学抽象，再以此为出发点，研究其他特征，获得立体图形的性质.

研究内容确定立体图形的组成元素，研究元素之间的基本关系，再通过不断增加条件，实现对几何图形“从粗到细”的分类，获得基本立体图形结构特征的系统认识.

过程与方法从观察与分析一些具体几何图形组成元素的形状、位置关系入手，归纳共同属性，抽象出本质属性而得到分类标准，再概括到同类物体而形成抽象概念.

研究结果

(1)基本立体图形的分类——从几何体的组成元素入手，把空间几何体分为多面体、旋转体.

(2)多面体的分类——从多面体组成元素的形状、位置关系入手.例如：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.类似的有棱锥、棱台.

(3)棱柱的分类——按“侧棱是否垂直于底面”把棱柱分为直棱柱、斜棱柱.

(4)直棱柱的分类——按“底面是否为正多边形”把直棱柱分为正棱柱和其他直棱柱.

(5)正棱柱的分类——按“底面正多形的边数”把正棱柱分为正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱…….

当然，还可以根据需要给出其他分类，例如从直棱柱中分出长方体，再从长方体中分出正方体；从斜棱柱中分出平行六面体；等等.

以上是从立体图形组成元素的形状、位置关系所反映的定性特征描述立体图形的结构，我们还可以从组成元素的数量关系探寻不变量(式).例如欧拉定理：一个多面体有V个顶点、E条棱和F个面，则V-E+F=2.等价地，如果从维数角度表达，一个三维凸多面体的组成元素包括V个顶点(0维)、E条棱(1维)、F个面(2维)、S个体(3维)，它们的数量之间有如下关系：V-E+F-S=1，其中S=1.

这里，以“结构特征”为主题，以“组成元素的形状、位置关系、数量关系”为研究内容，从定性到定量，通过具体例子的观察、分析，归纳出共性并概括到同类事物而得出结构特征，从而实现数学抽象，这就是落实“四基”“四能”的过程，也是直观想象、数学抽象等数学核心素养落地的过程.实际上，最终的目标都聚焦在理性思维上，要使学生逐步养成有结构地、有逻辑地思考的习惯.为此，应把培养学生“用数学的眼光观察世界”放在心上，要在“从哪些角度循序渐进地观察”上加强引导.例如，在“空间几何体”的分类中，可以作如下引导：所谓空间几何体的结构，是指它由哪些基本几何元素组成，这些元素的形状如何，有怎样的位置关系等等.观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象组成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识.又如，在对多面体结构特征的认识中，可作如下引导：所谓多面体的结构特征，主要指多面体组成元素的形状和位置关系.因此，观察一个多面体的结构特征，就是要观察它的各个面的形状，以及各个面及其交线的位置关系.

顺便指出，对基本几何图形结构的认识，实质是对几何图形的分类，关键是建立分类标准.更进一步地，分类是理解数学结构的关键一环：一个数学结构的具体例子不胜枚举，按某种特征对它们分类，可以确定一种研究这个结构的逻辑顺序(按类各个击破)，形成一个新方法来证明关于这个结构的结果.有时，分类本身就给出了某种结果的证明，例如正多面体只有五类：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.从这样的高度认识“基本立体图形”的内涵，才能真正把握这一内容的育人价值，才能使我们聚焦“元素”、“关系”、“结构”、 “分类”这些关键词设置问题，启发学生的思维，引导学生展开数学抽象活动，从而实现在数学知识的教学中发展学生的数学核心素养.

3.3 体现研究数学对象的基本套路

认知心理学认为，结构功能良好的数学认知结构才有不断同化新知识的能力和持续的知识自我生长能力，才有强大的迁移能力，才能在创造性解决问题中发挥作用.由于数学认知结构是由数学知识结构内化而来的，所以为学生提供结构体系合理的数学知识结构就成为教材编写中必须认真处理的问题.这里的结构体系既指教材的整体结构，又指一个章节、单元的逻辑结构，其合理性要从数学知识的内在逻辑和学生数学认知的心理逻辑两方面来考量.而构建一个章节的知识结构，则要按研究一个数学对象的基本套路，根据研究对象的特点，选择合适的类比对象，确定研究内容，构建研究路径，探寻研究方法，获得研究结论.

例如，我们可以类比“平面几何图形”，形成“空间几何图形”的研究内容和路径：具体实例中组成元素、位置关系的分析——定义——表示——分类——性质——特例(定义、判定、性质)——度量——联系与应用.其中，定义、性质等，都是研究对象的抽象结构的反映，是变化(变换)中的不变性(不变量)，而研究方法也可以从平面几何中得到借鉴，有时甚至可以直接延用.

3.4 在“一般观念”(big idea)上加强引导

总的来说，教材应注重以反映数学内容本质、符合学生认知水平的问题，引导学生开展探究性学习，促进学生通过类比、联想、特殊化、一般化等思维活动发现和提出数学问题，形成研究思路，找到研究方法.为了使学生学会“用数学思维思考世界”，要发挥“一般观念”的作用，以加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上要及时引导，以使学生明确思考方向，实现“有逻辑的思考”.

下面通过例子说明“一般观念”的内涵.

例“一般观念”在发现空间直线、平面位置关系的性质中的作用.

几何学的基本研究对象可分为两类：物体的形状、物体的位置，“形状的性质”、“位置的性质”是几何的研究主题.

柱、椎、台、球的结构特征就是“物体的形状”这一几何对象的基本性质，是一类几何图形组成元素的形状和(定性、定量)关系的反映.

空间中点、直线、平面的位置关系是刻画空间物体位置的基础，以“平面三公理”为出发点，关键是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.其中，“平面三公理”用“点在直线上”、“点(直线)在平面内”、“两个平面相交(公共点、公共直线)”等最直观、最基本的位置关系刻画了平面的“平”、直线的“直”以及“平”与“直”的一致性及相互转化；“平行关系”是欧氏空间平直性的反映；“垂直关系”是欧氏空间对称性的反映.

如何理解“位置关系的性质”？或者说，“位置关系的性质”是如何表现的？

我们先来分析一下“平行线的性质”：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.这里的“性质”是两条平行线与“第三条直线”相交，形成一些角，然后看在“两条直线平行”这一位置关系下，这些角之间有什么确定的关系(第三条直线可以任意改变，在变化过程中出现的角的关系的不变性).

去掉“平行线”这一具体的位置关系，从思想方法上进行抽象，这就是：研究两个几何元素某种位置关系的性质，就是探索在这种位置关系下的两个几何元素与其他同类几何元素所形成的图形中出现的确定关系(不变性)，具体方法是让“其他几何元素”动起来，看“变化中的不变性”.这就是“一般观念”，它在研究“位置关系的性质”中可以引导思考方向，使学生独立自主地发现性质成为必然.

例如，“直线与平面平行的性质”，就是以“直线a∥平面α”为条件，探究其他直线或平面与a，α之间是否形成确定关系.例如，容易发现，α内的直线b与直线a或者平行或异面：

当b∥a时，b可以看成是由a，b所确定的平面β与平面α的交线，而且只要β是过a的平面，那么它与α的交线一定与a平行，这样就得到性质：直线a∥平面α，过a的平面β与α的交线是b，则a∥b.

当b与a异面时，过a作平面β⊥平面α，设β∩α=c，则c与b一定相交，它们的夹角就是异面直线a，b的夹角；设c，b的交点为A，过A作α的垂线交a于B，则线段AB就是异面直线a，b的公垂线段.根据这些条件，借助直线的方向向量、平面的法向量等，可以推导直线a与平面α的距离公式.

由上所述可见，有了“一般观念”的引领，学生对直线与平面平行的性质的探索可以有广阔的思路，而直观想象、归纳推理、演绎推理、数学抽象、数学运算等的培养就自然而然地体现其中了.

4 几何课程改革的未来之路

基础教育阶段的几何课程，研究对象是空间中物体的形状和位置.

综合几何是基础.总体思路上，先要把空间物体抽象成几何基本概念和基本性质，再用归纳推理、演绎推理达到对几何性质的有效掌握，然后用这些概念和性质解决各种问题，但在抽象几何概念、研究几何性质时，要加强数学基本思想的引领、基本活动经验的积累，并要把归纳几何要素、发现几何关系、提出几何性质等作为几何教学的关键任务.

综合几何的特点是，除了尺规而不借助其他工具，通过演绎推理得出结论，对人类智力有极大的挑战性，引人入胜，成为许多人喜欢上数学的源，但同时也成为大量学生数学学习失败的根.平面几何成为数学学习成败的分水岭.因此普及意义下的几何课程必须加以改造，基本思路应该是尽快地使用直角坐标系、向量等工具，使几何代数化、算法化.

首先，平面几何的改革是关键.其逻辑基础部分(点、直线、平面的关系，叠合和平行等三组公理(基本性质))要结合学生的直观感知经验形成基本认识.用于培养逻辑推理能力的平面几何内容，要以精简实用为原则，兼顾学生的学习可能性、后续学习的必要性.三角形的内容要完整(全等、相似、等腰三角形和直角三角形等，定性性质、定量关系与求解公式)，平行四边形关注平直性，圆关注对称性，使学生建立基本的几何观念.可以考虑在平面几何中引入向量工具，用向量解决一些论证、计算问题.

立体几何部分，目前的课程已经比较理想，空间几何体的结构特征聚焦在基本结构上，点、直线、平面的位置关系聚焦在平行和垂直，借助向量、空间直角坐标系计算距离、角度等，用向量(坐标)运算解决论证几何的问题.