基于内外部表征的数学高考应用题分析

杨原明

[摘要]在对数学应用题进行解决的过程中。对于问题表征方式的不同直接决定着对于问题解决方案的选择，而问题表征通常情况下又可以分为两种形式，即内部表征和外部表征。内部表征主要是指命题表征、概念表征以及概念图标等，外部表征主要是指背景表征、文字表征、符号表征等。这两种表征在结构和特征方面都存在一定的差异性，在应用题的解答中也有不同的方式，通过这两方面能够有效地实现对高考数学应用题的分析和解答。

[关键词]数学；高考应用题；内部表征；外部表征

数学和日常生活有着密切的联系。相关的数学知识在实际的生活中往往都能得到应用。由此就可以看出数学的实用性。数学之所以能够得到发展。主要是因为通过数学能够解决实际生活中存在的许多问题。这也就是数学应用题之所以存在的根本原因。但是在实际的教学活动中。往往会出现教师在讲解的时候。学生都能够很好地接受和理解。但是在自己做题的时候就想不到用什么概念、公式或方法解题。出现这一现象的根本原因在于教师在实际的教学。没有将解题的思维方式教给学生。这样学生就不能将所学的知识有效地应用在解题之中。这就说明了。在数学教学中。不能让学生仅仅停留在简单的模仿阶段。而是需要在模仿的同时。不断地明确相应的解题的思维方式。最终实现对一类题目的处理方法。关于这一点的教学中。教师应该重点对解题的知识点方向以及学生的解题思路进行关注。这样才能对其进行有效的引导

数学应用题中外部表征的作用

外部表征主要是情景中的结构以及知识点，具体可以表现为限制条件、物体、维度、外部规则以及物理符号等。文字表征能够将陈述性的描述转变为数学命题。这一步直接决定这对数学应用题的解答。对于文字表征的理解正确与否直接影响着解题策略的选择。背景表征对数学应用题的影响。对于数学应用题的解决。主要需要通过学生现实中的切身体验。因为数学本身是来源于现实。同时也能够在现实中得以应用。如果在数学教育中完全与现实中的背景材料脱离。就会徒增对数学的解题难度。同时数学学习的本身意义也就得不到体现。因此在实际的解题过程中。对于一些具有实际背景的题目。学生需要用数学的眼光对现实中存在的问题进行分析和解决。这种对于数学应用题的解决方式能够有效地改善学生对于数学的看法。认识到数学在现实生活中的作用所在。这样才能帮助学生充分地提高对于数学应用题的解决能力。

内部表征在数学应用题中的作用

内部表征是指学生在对于题目的理解中。思维意识中的相关概念、命题以及相关的知识与结构。这是解决数学应用题的基础。在进行数学应用题的解答中。足够的知识是解决问题的关键因素。而能够将所学的知识进行合理的使用和组织。则是解决应用题的重要能力。这种能力甚至比拥有足够的知识更为重要。在某些情况下。过多的知识储存甚至会对学生的解题造成误导。因为学生难以从众多的知识点中找到与题目相关的知识点。因此。在实际的应用题的解决中。学生的脑海中必须建立有序的知识结构。从而为学生的解题提供一定的指导。

1.数学概念表征

数学概念表征主要指的是对于数学概念的表现方式。数学概念主要是对数学知识点通过不同的角度以及层面进行表述通过相关研究表明。学生对概念的理解。往往都比较依赖表象表征。也就是在理解的过程中。过分地依赖表象特征对概念进行记忆和理解。在认知心理学上认为。用实例表现概念。往往这些实例都具有一定的代表性。而这些表征的本质就是数学概念原型。分别包含表达原型、实例原型以及图像原型。概念表征本身具有一定的层次性。尤其是学生在进行概念表征的时候。往往都是通过对概念意象的理解进行的。对于概念的标准意义则没有引起足够的重视。比如在学习椭圆概念以后。学生掌握最为牢固的就是利用椭圆标准方程或者椭圆的几何性质解答相应的题目。但是对椭圆的定义掌握却不到位。因为学生在学习的时候过分依赖于表象特征。如果在解题的过程中。遇到没有椭圆图像的题目就难以根据椭圆的定义对其进行有效的判断。最后达到解题的目的。因为在实际的学习中。学生对表象的依赖会造成学生不能将相关的概念实现逆推。这样就会直接影响学生解决应用题的能力。如果学生不能通过概念表征。将语言表征、形式化定义表征以及图形表征建立有效的联系。就难以深入理解概念。这种情况下。学生的解题思路以及方法都会受到一定的局限性。给学生数学应用题解题能力的提升带来严重的阻碍。

2.命题表征

相关研究人员表明。如果在应用题中，存在的命题都是同等重要的，那么就将这一等价命题网络称之为命题域。心理学上认为，学生在实际的学习中，会将相关的知识点用命题代码以及表象代码的形式在大脑中进行储存。在解题的时候。大脑中就会激活这些命题。并且提取所需要的知识点。命题网络具体是指多个具有共同成分的命题互相存在一定的联系。在进行不同知识点的学习中。有可能会存在共同的知识模块，学生在实际学习中，如果能够将这些知识点在脑海中构建出相应的知识点网络。就能实现对不同知识点的深入了解。并且明确知识点之间存在的联系。这种情况下。学生的解题方法也会随之增加。学生就可以在其中选择最优的解决方案。

3.概念图表征

将表征知识进行建立一定的联系的组织被称之为概念图。在实际中的应用。具体是指将相关的知识点用命题的方式放置于圆圈中。然后再将不同的知识点联系起来。从而形成相应的知识网络，通过这种方式，能够将不同知识点之间的联系形象地呈现出来。学生能够对知识点之间的联系一目了然。学生在实际的组织建立中。需要利用自己的空间组织能力。将概念实现有效的连接。这样就能使知识之间存在的联系明确地表现出来。另外。通过这种方式。还能使同一领域以及不同领域知识的内在联系得到形象的反应。能够有效地促使数学学习能力的提升。利用概念图表征。学生能够充分地对知识结构进行掌握。更进一步实现对概念的理解。将题目中所表达的内容在知识网络中寻找相关的知识点。通过这种方式能够提高学生的解题能力。最终实现对题目的解答。同时还能够增加解题的思路和方法。

4.图式表征

图式表征在应用题的解决中。能够加深对問题情境的理解。在深度理解的基础上。能够有效地促进对问题的解决。另外通过相关研究还发现。图式表征在帮助解题者理解题目的基础上。能对题目实现预测、记忆、迁移以及选择。利用图式能够更好地实现知识的条理化。从而长时间地存储在记忆之中。这样能够有效地实现知识的浓缩。并且使知识在大脑中形成一定的框架。这样学生就能在实际的解题过程中。很快地发现问题所在。然后利用题目中的隐含条件就可以推出需要的条件以及解决方式。从而实现对应用题快速、准确的解决。在实际的学习中，学生的图示表征结构、层次的完善程度与其在应用题解决中发挥的作用是成正比的。如果相应的知识结构图不够完善，那么就不能充分发挥其在解题中的作用。由此就可以看出图式表征在应用题解答中的重要作用。就高考应用题的解决而言。本身学生脑海中的知识点就比较多。同时高考中的命题以及知识点涉及并没有一定的界限。考查的范围涉及学生高中全部的知识。甚至还会涉及初中部分知识点的应用。这种情况下。学生在解题过程中。对所需知识点提取的难度就进一步提高了。而图式表征的应用。能够将相关的知识点浓缩以后存储起来。并且知识点之间的条理相当清晰。这样就能帮助学生提高解题的效率以及正确率。

结束语

综上所述。在高考数学应用题的解答中。外部表征以及内部表征在其中发挥着重要的作用。外部表征能够帮助学生对题目实现深入的理解。通过对其深入理解就能充分地挖掘出题目中给出的条件。为题目的解决奠定基础。而内部表征则主要是指学生需要将所学的知识点建立相关的联系。只有明确知识点之间的联系。才能更加深入地了解知识点在实际解题中的应用。同时明确内部表征的作用。还能深化学生对相关知识点的记忆。在明确知识点之间的关系以后。解题的思路以及方式也会增加。这样就能够选择最优的方式进行解题。虽然目前高考数学应用题的解答中。对这一理论的认识还不够明确。但是相信随着教育系统的不断发展。未来这一理论的作用一定能够在数学应用题教学和解答中得到充分的发挥。