基于实数阶累加的累积法改进及其应用

张海云，王菊韵，吴正鹏

(中国传媒大学 理工学部，北京 100024)

基于实数阶累加的累积法改进及其应用

张海云，王菊韵，吴正鹏

(中国传媒大学 理工学部，北京 100024)

基于普通累积法估计模型参数的基本原理，将普通累积法由整数推广到实数，并用推广后的实数阶累积法估计计量经济学模型参数，且运用实例与普通累积法估计的结果进行比较。结果表明，实数阶累积法也能像最小二乘法及普通累积法一样，对模型参数进行很好的估计，因此可将累积法推广到其他模型的参数估计中，以满足更大范围的应用。

普通累积法；实数阶累积法；计量经济学模型

1 引言

在计量经济学的分析步骤中，参数估计是一个非常重要的环节，它依靠统计推断的理论和方法，利用样本资料，估计模型内结构参数的数值。结构参数估计常用的方法有两类，一类是最小二乘估计，另一类是最大似然估计。最小二乘估计的数学理论基础是由数学家Guass和Markov奠定的，但这种方法使结构参数有所偏离和不一致，且平均误差较大。在文献[3]中，曹定爱、张顺明两位作者根据意大利数学家P.Marchsi创立的累积法，探索出累积算子的各阶通式，并提出可以取代最小二乘法的普通累积法，进而用来估计联立方程模型的参数，且开发出一系列参数估计的补充方法。

自邓聚龙教授提出灰色系统理论以来，灰色预测模型模型已被应用于众多领域。邓聚龙教授提出的整数阶累加更是许多模型建模的基础，近年来，随着灰色系统的发展，许多学者已将邓聚龙最先提出的整数阶累加方法推广到分数甚至是复数，其中吴利丰等人提出的分数阶累加是对灰色系统理论的一个重大发展。在分数阶累加的基础上，吴正鹏等人提出的基于复数阶累加运算，是灰色系统理论的又一次完善。

曹定爱等人提出的普通累积法仅限于整数阶的累积和，且累积过程与灰色系统的累加过程有很多相似之处。因此本文将曹定爱的工作从整数推广到实数，并将其应用于计量经济学模型中的参数估计。

2 实数阶累积法

基于普通累积法累积和的求解过程与灰色系统中累加生成的基本原理十分相像，且文献[6]已将灰色系统中的整数阶累加推广到了复数，因此，本文将普通累积法推广到实数，相应的提出实数阶累积法。

2.1 累加生成算子

针对原始序列x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))T，可以定义r次累加生成。

x(r)=Ax(r-1)=AAx(r-2)=A2x(r-2)=…=Arx(0)，

其中A为一次累加生成矩阵

这样，我们可以得到

(1)

2.2 实数阶累积法

普通累积法的累积和计算过程可以看成是灰色系统先对原始序列进行累加，然后再求和的过程。依据灰色累加的计算，可以将普通累积法具体分为以下两步：

第一步：求累加生成序列

将一组(有限维)数据{xt：t=1，2，…，n}看作是原始序列，记为：

x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))T

由累加生成算子，该原始数据的一次累加生成序列为：

x(1)=(Αx(0))T=(x(0)(1)，x(0)(1)

+x(0)(2)，…，x(0)(1)+x(0)(2)+…+x(0)(n))，

即

类似的可以得到x(2)=(A2x(0))T，x(3)=(A3x(0))T，…

第二步：求累积和

用S(0)表示对原始序列各项进行累加求和，用S(1)表示对一次累加生成序列各项进行累加求和，…

则：

………………………………

在文献[6]中，吴正鹏等人已经将矩阵(1)中的r由整数推广到复数中，得到复数阶累加生成矩阵。类似的，实数阶累积法首先将矩阵(1)中的r由整数推广到实数，用原始序列乘该矩阵，得到实数阶累加生成序列，然后对实数阶累加生成序列进行求和，得到实数阶累积和，由此得到实数阶累积法。

3 用实数阶累积法估计计量经济学模型参数

由2.2可知实数阶累积法的计算过程，按照参考文献[3]中模型参数的估计方法，可实现实数阶累积法对参数模型的估计。

例3.1据统计资料知，我国1952年—1957年工农业总产值如表1，试估计我国工农业发展的相关模型。

表1 我国1952～1957年工农业总产值

单位：亿元(按1952年不变价格计算)

根据相关因素分析，设工农业发展的相关模型为

yt=β0+β1xt+εt

(2)

其中工业总产值记为yt，农业总产值记为xt，且误差项记为εt。

[3]中作者已经用普通累积法和最

小二乘法求解，得到变量之间的经验关系为：

(1)普通累积法得到的经验关系式为：

(3)

(2)最小二乘法得到的经验关系式为：

(4)

用实数阶累积法得到的模型参数估计值表2所示：

表2 实数阶累积法得到的参数估计值

(1) 1/3次累加得到的经验关系式为：

(5)

(2)π/4次累加得到的经验关系式为：

(6)

(3) 1次累加得到的经验关系式为：

(7)

表3 实数阶累积法得到的因变量的估计值、误差和误差率

将实数阶累积法的计算结果与普通累积法和最小二乘法的计算结果进行比较，见表4：

表4 普通累积法、最小二乘法及实数阶累积法结果比较

y值与不同方法计算的估计值之间的具体差异情况见图1。

图1 普通累积法、最小二乘法及实数阶累积法估计值比较

通过以上过程可以看出，文献[3]中曹定爱等人提出的普通累积法，实际上是实数阶累积法累加次数为1的特殊情况。实数阶累积法不同累加次数得到的总误差率虽有差异，但整体效果都不错，这表明实数阶累积法和最小二乘法一样对估计计量经济学模型参数具有较好的效果。从图1中发现，最小二乘法和实数阶累积法得到的y估计值具有同样的趋势。

4 结论

本文主要通过累加生成矩阵，将普通累积法累加生成序列的计算过程由整数推广到实数，由此得到实数阶累积法。普通累积法就是实数阶累积法累加次数为1的特殊情况，且实数阶累积法也能很好的估计计量经济学模型参数。

文中对于曹定爱等人在文献[3]中提及的其他的参数估计的补充方法没有用实数阶累积法进行验证；对于文章一开始提及的复数阶灰色累加没有相应的推广；对本文中如何选取最佳的实数阶累加次数，以使总误差率达到最小以及为什么最小二乘法和实数阶累积法得到的y估计值具有相同的趋势等问题没有进一步的研究，这些问题在今后的工作中会加以说明。

参考文献

[1]邓聚龙.灰理论基础[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

[2]肖新平，毛树华.灰预测与决策方法[M].北京：科学出版社，2013.

[3]曹定爱，张顺明.累积法引论[M].北京：科学出版社，1991.

[4]古亚拉提(GujaratiDN).张涛，译.经济计量学精要[M].北京：机械工业出版社，2006.

[5]吴利丰，刘思峰，姚立根.基于分数阶累加的离散灰色模型[J].系统工程理论与实践，2014，34(7).

[6]吴正鹏，刘永菲.复数阶累加运算及其在反复GM(1，1)中的应用[J].中国传媒大学学报(自然科学版)，2016，23(1)：6-11.

[7]李子奈，潘文卿.计量经济学(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2008.

(责任编辑：王谦)

The Improvement and Application of Accumulation Method Based on the Real Order Accumulation

ZHANG Hai-yun，WANG Ju-yun，WU Zheng-peng

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

This article is based on the principle of ordinary accumulation method，and will promote the ordinary method to real.Use the promoting realorder accumulation method to estimate the econometric model，and compare the instance’s estimated results with ordinary accumulation method.Results showed that the real order accumulation method can be like the least square method and ordinary accumulation methodto estimate the model parameters is very good.So the accumulation method can be extended to other model parameter estimation，in order to satisfy a wider range of applications.

ordinary accumulation method；real order accumulation method；econometric model

2016-05-04

张海云(1991-)，女(汉族)，山东潍坊人，中国传媒大学硕士研究生.E-mail：haiyun665287@163.com

O241.5

A

1673-4793(2017)01-0071-04