变式递进设问 探究问题本质

王磊 刘娟

【摘要】 本文针对一个椭圆定值、定点问题的解题与教学，采用层层递进的方式进行探究升华，在解决原问题的同时，又在原问题的基础上给出一系列连续性的问题情境，引导学生主动思考，达到对问题的深刻理解，并感受解决一类问题的基本思路.

【关键词】 变式递进设问；探究问题；教学设计

【基金项目】 本文由安徽省大学生创客实验室建设计划项目“数据 分析与仿真创客实验室”（2015ckjh080）和安徽省大学生创新创业计划（201611059322，201611059338）资助.

圆锥曲线的定值、定点问题始终是高中数学考查的重点，更是教学的难点.该问题对学生的整体分析计算能力要求较高.在师范生教学设计课上，笔者设计一道二轮复习椭圆的定值、定点问题时，采用了以一道题为起点，层层递进设问，引导学生各个击破，最后，将类似问题拓展到抛物线和双曲线中的教学策略.下文将呈现这一过程与各位共享，欢迎批评指正.

一、题目原型

引例 已知椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a>0，b>0）的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心，且椭圆上的点到F点距离的最小值为 2 -1.

（1）求椭圆方程；

（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M - 5 4 ，0 .

证明：MA ·MB 为定值.

分析与思考 （1）该问考查的是基础知识和基本概念；

（2）该问是一个有关椭圆定值、定点、动直线的综合问题.F是定点，动直线l过F，故自然想到设l的“点斜式方程”，又F位于x轴上，所以，可以引导学生将l的“点斜式方程”设为以y为自变量、x为因变量的形式，以减少参数的个数.这样就有一种特殊的情况需要单独讨论，即l关于y轴的斜率为无穷大的情况，也就是l与x轴重合的情况.这种特殊情况下，l与椭圆的交点A，B即为椭圆的左、右端点，通过直接计算即可得到此时的MA ·MB 的值 - 7 16 .又题目要求证：当l动时，MA ·MB 为定值，这样就可以引导学生利用前面所设l的方程与椭圆方程相结合，利用韦达定理并结合定点M的坐标朝着- 7 16 的方向证明即可.

为方便下文叙述，现将该题的解题过程简述如下：

（1）椭圆方程为 x2 2 +y2=1，解题过程略；

（2）F（-1，0），当动直线l为x轴时，MA ·MB = - 2 + 5 4 ，0 · 2 + 5 4 ，0 = 25 16 -2=- 7 16 ；

当动直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为x=ky-1，

联立椭圆方程可得（k2+2）y2-2ky-1=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则

y1+y2= 2k k2+2 ，yy=- 1 k2+2 ，

MA ·MB =

（k2+1）y1y2+ 1 4 k（y1+y2）+ 1 16

=- k2+1 k2+2 + k2 2（k2+2） + 1 16 =- 7 16 .

综上所述，MA ·MB 为定值- 7 16 .

二、层层递进设问、追逐问题根源

在上面的引例讲解完毕后，可再次引导学生回到题目中，我们可以看到，在题目的第二问中有一个特殊点M，其位于x轴上，该点拥有特殊功能，即使得MA ·MB 为定值.自然可以引导学生考虑，在x轴上是否还存在其他的具有这种特殊功能的点N.可设问如下：

变式1 在x轴上，除了M - 5 4 ，0 外，有沒有其他定点N，也使得NA ·NB =- 7 16 ？

分析与思考 解决这个问题的过程并不难，只需要将证明过程中的定点M - 5 4 ，0 换成N（x0，0）即可.但问题的本质已发生改变，由证明定值问题转变为探究存在性问题，通过类似的推导过程（l与x轴重合的情况略），可以得到如下的表达式

NA ·NB =- （2x0+3）k2+1 k2+2 +（1+x0）2， （1）

其中k表示动直线l关于y轴的斜率，是一个动值，其取值范围为（-∞，∞）.故由（1）可知，要使NA ·NB 为定值，必须2x0+3= 1 2 ，即x0=- 5 4 .

故在x轴上除M - 5 4 ，0 外，再也没有任何一点满足条件.

在变式1中，尽管获得了除M - 5 4 ，0 以外在x轴再也没有任何一点满足条件.但，显然并没有穷尽平面中的所有点.故可继续设问如下：

变式2 在坐标平面内，除了M - 5 4 ，0 点外，有没有其他定点N，也使得NA ·NB 为定值？

分析与思考 类似地，引导学生将变式1分析与思考过程中的N（x0，0）替换为N（x0，y0），进而分析计算可得如下的表达式

NA ·NB =- （2x0+3）k2+2ky0+1 k2+2 +（1+x0）2+y20. （2）

因k为动值，故要使NA ·NB 为定值，必须2x0+3= 1 2 且y0=0，即x0=- 5 4 且y0=0.

故在坐标平面内除M - 5 4 ，0 外，再也没有任何一点满足条件.

通过变式1和变式2的探究我们发现，在原始的引例的第二问中，M - 5 4 ，0 是使得MA ·MB 为定值的唯一点，这蕴含着一种充分必要关系：MA ·MB 为定值当且仅当M的坐标为 - 5 4 ，0 .从而达到对这个题目的深刻理解，加深记忆.进一步可将这个问题进行一般化，提出如下问题：

变式3 设椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）的右焦点为F（c，0）（c>0），过F点的直线l交椭圆C于A、B两点，问是否存在定点N（x0，y0），使得NA ·NB 为定值？若不存在，请说明理由.

分析与思考 这个问题比原问题少了数字常数、多了字母参数，可引导学生共同分析如下：当直线与x轴重合时的情况，这里省略.当动直线l不与x轴重合时，可得类似于（1）和（2）的表达式

NA ·NB =- [2b2c（c-x0）+b4]k2+2b2cky0+b4 b2k2+a2 +（x0-c2）2+y20. （3）

其中k表示动直线l关于y轴的斜率.要使NA ·NB 为定值，必须 2b2c（c-x0）+b4 b2 = b4 a2 且y0=0，得x0=3c-ce2.故，得到N存在且唯一，其坐标为（3c-ce2，0），确在x轴上.

三、问题在抛物线和双曲线中的拓展

因圆锥曲线包含椭圆、抛物线、双曲线这三类，它们形式不同，但都有着一些内在的共同性质.故在探究完上一节的变式3后，可以继续将这一问题拓展到抛物线中.设问如下：

变式4 对抛物线也有类似的性质吗？

设过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F p 2 ，0 作直线l：x=ky+ p 2 ，交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，在坐标平面内是否存在定点N（x0，y0），使得NA ·NB 为定值？若不存在，请说明理由；若存在，求出定点坐标.

分析与思考 同椭圆的分析思路和方法，可得如下表达式

MA ·MB =-2px0n2-2py0n-p2+ p 2 -x0 2+y20，

显然，当且仅当x0=y0=0，即M（0，0）时，使得MA ·MB 为定值- 3 4 p2.

四、总 结

通过上面的变式探究，我们得出结论：过椭圆的焦点作直线交椭圆于A，B两点，在平面内有且只有一个定点M，使得MA ·MB 为定值；过抛物线的焦点作直线交抛物线于A，B两点，在平面内有且只有该抛物线的顶点M，使得MA ·MB 为定值；双曲线的情况，我们可以同样变式探究，得出与椭圆、抛物线类似的结论.