轮控式欠驱动卫星视线轴稳定控制

耿云海，宋道喆，王 爽，孙 瑞

(哈尔滨工业大学卫星技术研究所，哈尔滨150001)

轮控式欠驱动卫星视线轴稳定控制

耿云海，宋道喆，王 爽，孙 瑞

(哈尔滨工业大学卫星技术研究所，哈尔滨150001)

针对轮控式欠驱动卫星在系统初始角动量不为零时，不能通过定常光滑控制率稳定至任意平衡点的问题，通过对星本体某一视线轴惯性指向作约束，得到卫星可达到的某一稳定状态，并设计非线性奇异控制器，使系统从任意初始状态渐近稳定至目标点。数学仿真结果表明，控制器在满足系统角动量守恒的前提下，能够使视线轴快速运动并稳定至目标点，即视线轴与目标轴之间的夹角最小;同时，该控制器对初始姿态不敏感，在大小初始角动量的情况下都能很好地完成控制任务。

欠驱动;视线轴;非线性;奇异控制器;姿态控制

0 引 言

目前，对于小卫星姿态控制技术的研究主要集中在高精度、高机动性、高鲁棒性等方面，但是这些研究的前提都是卫星的执行机构所能提供的独立控制变量个数等于或大于系统自由度。显然，当执行机构故障时，上述研究成果很多会失效。

近年来，对于欠驱动卫星姿态控制技术的研究越来越多。当系统的执行机构为推力装置时，卫星可以实现三轴姿态稳定，这种情况的控制方法研究比较早也比较完备［1－7］。然而，当系统的执行机构为动量交换装置时，卫星姿态控制系统是不可控的［8］，问题变得更复杂，研究成果也相对较少。

在系统零角动量约束的条件下，卫星姿态动力学可以进行一定程度的简化，为实现三轴姿态稳定提供了可能。文献［9］从理论上证明了简化后的零动量航天器姿态动力学是短时间局部可控的，存在不连续反馈控制律稳定三轴姿态，并通过连续的六次机动，使航天器在有限的时间内到达平衡点。文献［10］应用一种新的姿态参数(w，z)设计了自旋稳定控制律。Yamada等［11］应用Rodriguez参数设计了时变的三轴稳定控制律。应用同样的姿态参数，Horri等［12］设计了一种非线性奇异控制律，该控制律形式相对简单，控制效果明显。之后，Horri等［13］进一步发展了该控制律，将姿态参数换成了四元数，使控制器的应用更贴近工程应用，同时基于该控制器设计了逆最优控制器，大幅度地减少了速率阻尼时间。文献［14］在此基础上优化了控制器的奇异性，同时给出了限制飞轮转速饱和的条件。文献［15］在这种控制器的基本结构的基础上，增加了角速度控制项，类似于PD控制器中的D项，使姿态的收敛效果更好。文献［16］首先通过反推(backstepping)方法设计了非线性奇异控制器，然后在此控制器的基础上针对系统的最优性问题进行讨论，设计了逆最优反馈控制器。上述控制器都是直接针对姿态动力学的非线性结构设计的，Fukaishi等［17］则应用分层输入－输出线性化的方法设计姿态控制器，这种方法避开了运动学和动力学分开设计的弊端。而Flynn等［18］则将太阳光压力矩作为隐形控制力矩加入到控制系统中，将欠驱动系统近似为全驱动系统设计了线性控制器，这种方法需要航天器满足多种约束条件，比如高精度测量，高轨道等。

当系统角动量不为零时，上述的简化不能实现，同时，由于角动量的约束，当角速度为零时，卫星的姿态存在一定的偏差，也就是说卫星的姿态不能被控制到任意目标姿态上，此时，只能实现部分姿态稳定。Boyer等［19］就针对这一问题，系统地证明了系统角动量不为零时，航天器姿态可实现的稳定形式，其在文章中指出，系统状态最多能实现五维的稳定，比如角速度和两轴姿态的稳定。目前，对这一问题的研究还很少。文献［20］以单飞轮航天器为模型，通过一系列的姿态机动，实现角动量的传递，达到角速度稳定的目的。但是，在实际的工程中，角速度稳定有时并不能满足实际任务的需要。文献［21］就设计了切换控制器，内环控制在实现欠驱动航天器的角速度稳定的同时，使航天器稳定在某一特定姿态，如果这个姿态违反了角动量守恒的约束，则通过外环控制逐渐调整姿态，直到满足约束。文献［22］则应用轨迹规划的方式，在给出姿态运动可行轨迹上的部分状态点后，应用高斯伪谱法规划航天器姿态运动。Yoon等［23］提出了惯性指向稳定，即星本体上某一固定指向，如镜头、敏感器等载荷的主轴方向，在角速度稳定时指向惯性空间的某一固定方向;并且以单个变速控制力矩陀螺为执行机构，设计了不连续反馈控制律，实现了卫星的惯性指向稳定。文献［24］研究了两个飞轮作用下的卫星惯性指向问题，通过系统线性化设计了线性二次调节(LQR)控制器。文献［25］在此基础上，设计了滑模控制器，并联合LQR控制器实现切换控制，以加快机动速度。

本文主要研究在非零角动量情况下，卫星惯性指向控制问题，避开线性化过程中带来的模型不确定性，设计非线性奇异控制器，并通过Lyapunov函数证明控制器的渐近稳定性，同时，给出控制器保持非奇异的充分条件，使卫星上某一固定轴机动并稳定至某一惯性方向，该控制器对初始姿态不敏感，在保证飞轮输出的前提下，在大、小初始角动量情况下都能很好地完成任务。

1 数学模型

假设双飞轮作用下的卫星结构如图1所示，双飞轮正交安装在本体坐标系Fb的xb、yb轴，视线轴为sb。

本文的控制算法设计目标为:在系统角动量H0≠0的情况下，使卫星稳定至某一姿态，到达该姿态时，视线轴sb与惯性系下某一固定目标轴th偏差最小。定义参考坐标系Fh为:系统角动量方向沿zh轴，yh轴位于目标轴th和zh轴组成的平面内，并垂直于zh轴，与th的夹角小于90°，xh轴满足右手定则，参考坐标系与本体系相对姿态如图2所示。

系统角动量在卫星本体系下可以表示为

式中:J∈R3×3为系统转动惯量矩阵，ωb∈R3为姿态角速度在本体系下的分量，h∈R3为飞轮角动量在本体系下的分量。由图1可知，偏航轴为欠驱动轴，所以h=［h1h20］T;H0∈R3为系统角动量在参考系下的分量，由参考系的定义可知H0=［0 0 h0］T;Abh:R3→R3×3为本体系相对于参考系的方向余弦矩阵。

假设系统不受外干扰力矩影响，此时H0为常值。对式(1)求一阶导数可得到完整姿态动力学方程为

式中:S(·)为反对称矩阵，可以表示为

式中:I为单位矩阵。

定义视线轴与目标轴夹角最小时的本体系为目标系otxtytzt，且目标系相对于参考系的姿态角速度为ωt和姿态参数为qt，同时定义本体系相对于目标系的姿态角速度为ωe和姿态参数为，则又因为ωe=ωb－Abtωt，其中Abt为本体系相对于目标系的方向余弦矩阵，可表示为

假设目标轴不动，即ωt=0，则ωe=ωb，式(4)可表示为

由相继转动可知

并将其代入式(1)，得

当视线轴到达目标点，且角速度稳定时，即ωb=qe=0时，，所以，式(7)可简化为

如果令v取代ωb视为运动学方程(6)的虚拟输入，同时取角速度跟踪误差为

控制量u=［u1u2］T，则

所以，姿态控制系统S0可表示为

式中:

可以看到，系统S0不存在偏航轴的动力学项，而偏航轴角速度则作为参变量出现在运动学方程中，如果存在非线性控制器u=f(e，qe，ωb3)，使系统S0渐近稳定至平衡点e=qe=0，则由式(8)可知，ωb3=0，此时视线轴稳定至目标点，即与目标轴的夹角最小。

由于角动量守恒的约束，当角速度稳定，即ωb=0时，系统角动量一定位于xboyb平面内，由文献［25］的分析结果可知，视线轴sb在参考坐标系下可到达的区域为无上下面的圆台形状，开口的角度为视线轴sb与xboyb平面的夹角α。假设目标轴th与zh轴的夹角为β，当α＞β时，视线轴不能到达目标轴，两者之间所能达到的最小夹角为;当 α≤β时，视线轴能够到达目标轴。

2 姿态确定

求解式(12)可得到cosξ=cosσ/cosγ，由此可得到系统角动量在目标系下的分量ht与xt轴的夹角为δ+ξ，从而得到ht，即由参考系的定义，hh、th是已知的，由目标系定义，tt=sb也是已知的，则根据双矢量定姿原理可得到

3 控制器设计

3.1 非线性奇异控制器

从形式上看，对系统S0的控制可以分为对运动学的稳定控制(控制输入为v)和对动力学的跟踪控制(控制输入为u)。文献［13－14］给出了系统角动量为零时的姿态控制方法，在此基础上，本文以定理的形式直接给出系统角动量不为零时的姿态控制器。

定理1.对于运动学控制系统(10)，存在控制输入v，形式为

使其渐近稳定至平衡点qe=0。式中:k＞0，g＞0为控制参数。

证.取Lyapunov函数

计算V1的导数，并将式(10)代入，得

将式(14)代入，得

可见，除平衡点qe=0外，＜0，所以控制器(14)能够使控制系统(10)渐近稳定至平衡点qe= 0。

3.2 奇异性分析

式中:sat(·，μ)为饱和函数，定义为

但是，式(14)所表示的控制器存在以下特点，即

定理2.对于运动学控制系统(10)，存在控制器(14)，如果g≥2k，同时初始时刻的状态满足，则控制输入v不会出现奇异。

证.取非负函数

计算其一阶导数，并将式(10)和式(14)代入，得

考虑 ωb3的表达式(8)，令 Δ1= (qe0qe2－qe1qe3)ωb3，Δ2=(qe0qe1+qe2qe3)ωb3，则

所以，初始时刻的状态只要满足 {qe(0)∈，则控制输入v不会出现奇异。

3.3 动力学控制

对于动力学方程(11)，采用跟踪控制，即令控制输入

式中:Kd为控制参数矩阵，矩阵中每个元素都大于0。

由式(14)可知，表达式中的所有状态量都是可以通过测量得到的，也就是说在每个采样周期都可以得到v的具体数值，所以在实际应用中，式(20)中的可通过式(14)直接差分得到。

将式(9)代入式(20)即可得到飞轮的输出力矩

式中:umax为飞轮最大输出力矩，且

由此得到飞轮的输出转速为

对系统S0稳定性的证明相对简单，取Lyapunov函数V=V1+0.5eTe，则其导数为，所以在除平衡点e=qe=0之外的所有区域内，V严格单调递减。

事实上，Lyapunov函数V中并不包含ωb3，即控制器(20)只能保证系统状态ωb1、ωb2、qe渐近稳定至平衡点，但是，由式(8)可知，当ωb1=ωb2=0且 qe=0时，ωb3=0，所以控制器(20)是满足任务要求的。

4 仿真校验

本节通过数学仿真对上文设计的非线性奇异控制器的有效性进行校验。仿真对象为两个飞轮控制的小卫星，初始时刻飞轮转速为零，星本体三轴由初始角速度，视线轴和目标轴确定，且视线轴能够与目标轴重合。系统结构参数及控制参数如表1所示。

表1 仿真参数Table 1 Simulation parameters

分四种情况分析非线性奇异控制器的作用效果，情况1为小初始角动量，此时三轴初始角速度为ωb(0)=［0.001 0.001 0.001］Trad/s，初始角动量H0=［0 0 0.3742］TN·m·s，飞轮最大输出力矩 umax=0.3 N·m，运动学控制参数 k= 0.02，g=0.05。

情况2为大初始角动量，此时三轴初始角速度放大50倍，为ωb(0)=［0.05 0.05 0.05］Trad/s，H0=［0 0 18.7083］TN·m·s，飞轮最大输出力矩和运动学控制参数均不变，与情况1相同。

情况3仍为大初始角动量，与情况2相同，但是飞轮最大输出力矩变为umax=1 N·m。

情况4为小初始角动量，与情况1相同，但运动学控制参数变为k=0.01，g=0.03。

图4为姿态响应，图5为姿态角速度响应。从图4～5可以看出，四种情况的姿态都能够渐近稳定至平衡点，但是显然情况2的变化更加剧烈，这是因为初始阶段飞轮力矩饱和的原因，如情况3所示，当力矩不饱和时，姿态变化与情况一相似，收敛时间也相应减少。

图6为控制力矩输出的情况，其变化与姿态响应相对应，饱和情况影响了收敛时间。

图7表示飞轮的转速变化情况，可见600 s时，四种情况的飞轮转速(r/min)分别为55和95.2;2748.6和4760.6;2748.5和4760.5;56.1和96.2，可见系统满足角动量守恒。

图8表示控制目标角度，即视线轴与目标轴之间的夹角α=arccos＜st，tt＞的变化情况，可见四种情况中夹角减小到0.1°的时间分别为640 s、873 s、684 s和1271 s。通过比较可知，控制参数的大小和飞轮力矩饱和程度都会影响收敛速度。

仿真结果都选择了0.1°作为比较标准。实际上，在本文设定的理想外部条件下，无论怎样取初始值，只要满足姿态确定中给出的条件，这个夹角最终都会无限接近于零。

5 结论

对于由两个飞轮控制的欠驱动卫星，当系统初始角动量不为零时，本文通过设计非线性奇异控制器对视线轴进行稳定控制，控制器满足以下特点:

1)如果初始状态满足一定条件，控制器不会出现奇异。

2)控制器在大小初始角动量的情况下都能够迅速稳定地完成控制任务。

3)只要保证飞轮能够正常地跟踪指令力矩，控制器对角动量初值不敏感。

4)在本文的理想外部环境下，目标夹角会无限趋近于零，但控制参数会影响收敛速度。

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(编辑:牛苗苗)

Line-of-Sight Stabilization of an Underactuated Satellite Controlled by Wheels

GENG Yun-hai，SONG Dao-zhe，WANG Shuang，SUN Rui
(Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China)

The challenging issue of stabilizing the attitude of an underactuated satellite using two wheels in the non-zero angular momentum mode is investigated in this paper.Considering that this kind of satellite cannot be stabilized by timeinvariant smooth control laws to an arbitrary equilibrium point unless it meets some constraint conditions，a nonlinear singular controller is presented，which can drive the line-of-sight of the satellite to an inertia direction from any initial attitude.Several simulation results show the asymptotical stability of the proposed controller under the conservation of the total angular momentum，what's more，the controller is not sensitive to the initial attitude.

Underactuated;Line-of-sight;Nonlinear;Singular controller;Attitude control

V448.22

A

1000-1328(2017)01-0057-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.01.008

宋道喆(1985－)，男，博士生，主要从事轮控式欠驱动卫星姿态动力学与控制。

2016-04-22;

2016-07-25

国家自然科学基金(61203185)