基于小波分析的吉林市降水量周期规律研究

孙思宇，梁秀娟，肖长来，王 添，李宝玉

(吉林大学地下水资源与环境教育部重点实验室，长春 130021)

降水是地下水的主要补给来源，其长期变化特征是地下水动态的重要表征[1,2]。小波分析最初是法国工程师Morlet为研究地震波局部特性时提出的[3]，后来逐渐应用到水文序列分析中。目前小波分析已成为降水序列多时间尺度变化特征分析的有效手段。国外对于小波分析的研究开展较早，1989年Meyer所写的《小波与算子》是目前较权威系统的小波理论著作[4-5]，崔锦泰所著的《An introduction to wavelets》是一部小波分析的入门书[6]；在国内，小波分析在20世纪80年代初开始发展，杨位钦等学者提出时间序列与动态数据的建模[7]，在1994年研究达到高潮[8]，王文圣等学者利用小波分析的方法，对水文序列的周期成分、突变识别等方面进行了研究及讨论，陈彦光对于地理数据的Matlab小波应用提出了讨论，崔丽、唐小厨、周伟等学者都对小波分析及应用的研究进行了讨论[9-12,14]。本文以吉林市4个雨量站的降水量资料为例，利用小波变换分析方法，分析其变化周期，预测其发展趋势，为吉林市地下水开发利用提供科学依据。

1 研究区概况

吉林市位于东经125°40′～127°56′，北纬42°31′～44°40′之间，属于吉林省中部偏东的中低山丘陵区，东接延边朝鲜族自治州，西临长春市、四平市，北与黑龙江省哈尔滨市接壤，南与白山市、通化市、辽源市毗邻，总面积为27 120 km2。

吉林市的气候属于温带大陆性季风气候，多年平均降水量650～750 mm，其中6-9月降水量占全年降水量的70%～80%。多年平均蒸发量为1 432 mm。吉林市境内水系发达，水资源量较为丰富，地表水资源165 亿m3/a，地下水资源7 亿m3/a。

2 研究方法

小波分析是在Fourier变换基础上发展起来的另一种重要的信号解析工具。Fourier分析具有很好的全局性，但不能同时兼顾时间域(或空间域)和频率域(或波数域)两方面信息。小波分析的基函数具有很好的局部性，特别是它可以在时(空)、频(波)两域同时给出系统演化的信息[10]。

小波分析在Fourier变化的基础上引入窗口函数(小波函数)ψ(t)，从而允许把时间序列分解为时间和频率的贡献[11]。

小波函数ψ(t)=L2(R)满足：

(1)

通过伸缩和平移，函数ψ(t)可构成一簇函数系：

(2)

对于给定的时间函数f(t)∈L2(R)的连续小波变换可表示为：

(3)

将关于所有尺度因子的小波变化系数的平方在时间域积分，即为小波方差：

(4)

小波方差能反映波动能量随时间尺度的分布，用于确定水文时间序列变化过程中存在的明显周期[11]。

Morlet小波变换为连续复小波变换，小波函数的实部和虚部位相差为π/2，因此能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确[12]。本文选用Morlet小波对降水量时间序列进行时域局部化分析。

Daubechies(dbN)小波是由小波分析学者Inrid Daubechies构造的小波函数，可用于完成一维离散采样信号的差分运算，即给出与观测结果的平均值不相等部分的差值，除了db1(Haar小波)外，其他小波没有明确的表达式，提供了比Haar函数更有效的分析和综合[13]。本文选用Daubechies(dbN)小波对降水量时间序列进行趋势分析。

3 数据分析

3.1 小波系数分析

Morlet小波变换中小波变换的实部是重要的时频分布参数，以参数的时频分布图表示，显示出不同时间尺度在时间序列上的分布和相位情况。图中实线为正值，表示年降水量多于多年平均值，为偏丰年份；虚线为负值，表示年降水量少于多年平均值，为偏枯年份，在实线与虚线交界处为零值，表示年降水量丰枯变化的转折点。

为显示年降水量的整体变化，首先对吉林市内4个雨量站55年(1957-2011年)年降水量进行距平处理，之后利用MATLAB软件对其进行Morlet小波变换，分析得出各雨量站年降水量距平小波变化系数的实部的时频分布图，详见图1。

图1中清晰地显示出各雨量站年降水量时间尺度变化情况，年降水量转折点的分布及其相位结构情况。吉林市年降水量整体上呈现3个时间尺度的变化规律周期：2～6年，10～13年，20～28年。但在各雨量站变化周期的时间尺度存在差异，在不同的时间尺度上，年降水量也显示出不同的变化特征。

以城区雨量站为例。由图1(d)可知，城区雨量站存在3个时间尺度的周期：3～7年、10～11年、20～26年。其中，3～7年时间尺度为短周期，小波系数实部的时频分布较为密集，年降水量变化表现为强烈震荡的状态，显示出正负频繁交替的状态，当时间尺度为3年时，年降水量的变化周期与年际变化周期相近；10～12年时间尺度为中长周期，中心尺度为11年左右，小波系数实部的时频分布较为紧密，但能明显看出时频分布曲线的正负交替状态，年降水量变化同样表现为震荡的状态，显示出正负交替的状态； 20～26年时间尺度为长周期，中心尺度为22年左右，此时间尺度上，小波系数实部的时频分布较为均匀，时频分布曲线正负交替较为规律，年降水量表现为丰枯交替循环出现的情况。

图1 吉林市各雨量站年降水量小波变化系数实部的时频分布图Fig.1 Time-frequency distributions of wavelet transform coefficients of annual precipitation at Jilin City

3.2 小波方差检验

利用小波方差可以更加直观的得出通过小波分析得到的降水系列周期，图2为吉林市各雨量站年降水量的小波方差图。

以城区雨量站为例，由图2(d)可知，年降水系列方差图存在3个确定的波峰，时间尺度为5年、11年及22～23年。根据不同时间尺度所对应的波峰值及其波形的完整性分析，22～23年的长时间尺度为主周期，年降水量时间序列周期震荡最强；5年的短时间尺度为次周期，年降水时间序列在该时间尺度上周期震荡较为强烈。同时，在图2(d)中，11年中长时间尺度上存在小型的波动。

由表2可知，吉林市各雨量站年降水量整体上存在一个3～6年时间尺度的短周期；各雨量站均存在10～11年时间尺度的中长期雨量，除搜登站雨量站该时间尺度上小波方差图的波峰值较小，口前、西阳、城区雨量站在该时间尺度上均能见明显的波峰，且该周期的时间尺度与太阳黑子的活动周期(11年)相近，可能是受太阳黑子活动的影响；吉林市整体上存在一个22～25年时间尺度的长周期，均为其主周期。

图2 吉林市各雨量站年降水量小波方差图Fig 2.Wavelet variances of precipitation time series of Jilin City

年

表2 吉林市各雨量站年降水序列小波方差周期Tab.2 The periods of wavelet variances of annualprecipitation time series at Jilin City

注：*表示主周期。

3.3 降水变化趋势分析

年降水量在一个完整水文周期内，随时间呈现丰、平、枯不同的变化趋势。由于年降水量受到气候条件、人类活动等多种因素影响，在分析其变化趋势前，应先对资料进行小波分解，进行降噪处理。实际信号通常表现为低频信号或者比较平稳的信号，而噪声通常表现为高频信号[10]。本文利用dbN小波对吉林市各雨量站年降水量进行小波分解。基于小波分解原理，最多可以分解至第log2N层，其中N为样本数量。本文中样本数量为55，最多可以分解至第5层，因此，本文选择db5小波对年降水量时间序列进行小波分解。

图3为各雨量站年降水量时间序列降噪处理后的趋势变化曲线图。图3中s表示原始信号，a5表示第5层小波分解近似信号，d5～d1为第5层到第1层小波分解细节信号[14]。从图中可知，随着时间尺度和分解层次的增加，噪声信号在高频信号的幅值快速衰减，降水量变化趋势逐渐趋于明显。本文中年降水量时间序列经过5次小波分解，降噪程度最好，年降水量变化趋势最为明显。

图3 吉林市各雨量站年降水量趋势变化图Fig.3 The trend variance of the precipitation series of Jilin City

由图3中各图的第5层小波分解近似信号(a5)可知，对于各雨量站年降水量历史趋势变化，各雨量站均呈现先逐渐减少，后逐渐增加的趋势。根据各图的第5层小波分解近似信号变化趋势分析可知，对于各雨量站年降水量未来趋势变化，各雨量站均呈现近期逐渐增加至最大值，后逐渐减少的趋势。

4 结 语

本文利用吉林市内4个雨量站55年(1957-2011年)降水资料，应用小波方法分析其年降水量时间序列的变化规律。分析结果表明：

(1)吉林市年降水量时间序列整体上存在3个时间尺度的周期：2～6年短时间尺度的周期；10～13年中长时间尺度存在一个小型变化周期，其变化尺度与太阳黑子活动周期相近，可能是受太阳黑子的影响；22～26年长时间尺度的周期，且整体上以长时间尺度为主周期；

(2)经降噪处理后，在大时间尺度上各雨量站历史趋势均呈现先逐渐减少，后逐渐增加的趋势；根据对吉林市各雨量站年降水时间序列未来变化趋势及周期分析，在未来一段时间内，吉林市的降水量整体上将呈现近期逐渐增加至最大值，后逐渐减少的趋势；

(3)本文对于吉林市年降水量分析结果为年降水时间序列的整体变化规律，但仍存在突变点，可能是受到特殊的环境气候因素和人类活动因素的影响，对于突变点仍需要结合各种影响因素进行综合分析。

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