问题驱动法在定积分概念教学中的应用

曹顺娟

摘 要：教学的组织应依据学生的认识规律，如何组织课堂教学更切合学生的认知规律。笔者根据自己的教学经验，总结出了“设置驱动问题，激发学生思考，利用已知解决未知”的问题驱动法。问题驱动法是让学生带着问题去学习新的知识，并在解决这些驱动问题时，形成对新知识的初步认识。该文介绍了如何将“问题驱动法”应用到定积分概念的教学中。

关键词：问题驱动法 学习型社会 认识规律 驱动问题

中图分类号：G6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（b）-0166-02

“国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）”的战略目标为：到2020年，基本实现教育现代化，基本形成学习型社会，进入人力资源强国行列。如何进行教学改革促进学习型社会的形成。中国科学院院士李大潜说过：教学改革的主体虽然是教师，但所针对的对象则是广大的学生，因此，一定要遵循学生的认识规律，才能收到事半功倍的效果。教师一定要设身处地站在学生的角度思考，考虑怎样组织教与学才能更切合学生的认识规律。

教学组织应依据学生的认识规律，尤其是数学这样一门抽象的学科应该如何实施教学。笔者根据自己的教学经验，总结出了“组织适当的驱动问题，激发学生思考，利用已知解决未知”的问题驱动法。

1 依据数学知识形成规律，得到“问题驱动法”

我们先认识一下一套数学理论是怎么形成的。

首先，人们在生产生活中遇到一个难解决的实际问题，数学家将之抽象为一个数学问题，设法利用已知的数学知识去初步解决。其次，对于这种普遍存在的问题，数学家将初步解决的方法进行充分抽象、提升，使之成为一套新的数学理论。对该数学对象，可以应用数学方法进行进一步研究，从而完善这套数学理论。最后，数学家再将这套完整的理论反哺到最初解决的实际问题中，这样就得到更有效的解决方法，并且还可以利用新得到的数学知识来解决类似的其他问题。

至此，一套数学理论就形成了，可以把这个过程简化成下面的流程图（如图1）。

在教学中发现对于一个数学概念或知识点，很多同学往往知其然而不知其所以然，会效仿例子做题，但是问其为何这样解，却说不知道或不清楚，这和我们所要培养的学习型人才背道而驰，深究这里面的原因，是学生对该知识没能深入思考，再究其深层原因，实为教师未遵循学生的认识规律教学，对该知识点没有通过恰当的方式进行教学，这样就使得学生只是被动接受，而不能真正理解如何去用。问题驱动法就可以很好解决学生未加思考就接收知识的问题。这种方法是教师通过设置一些适当的驱动问题，层层引导学生去思考，学生在不断思考和不断解决问题的过程中形成对概念的初步认识。这样的过程使得学生既清楚概念的来龙去脉，又能深刻理解概念的意义。

2 “问题驱动法”在定积分概念中的应用

教师如何设置好驱动问题，激发学生思考，层层解决完各个问题之后，使得原来的实际问题得以解决。我们以定积分概念为例，进行说明如何设置驱动问题，使得学生在思考中学习并领悟概念。

首先，以回忆三角形和梯形的面积开始引入，这两个图形的面积，是学生熟悉的“已知知识”。这时，老师可设置问题：把梯形的一斜边变成曲线，这样的图形—— 曲边梯形的面积如何计算？对于这个中心的驱动问题，学生会无从下手，老师可以设置下面的一系列小的问题进行驱动，使得学生逐一解决，最终解决该中心问题。

驱动问题1：对于未知的曲边梯形面积，虽然我们还不知是否有已知的公式计算其精确值，但是能否可以退而求其次，用已知图形的面积来近似它的面积？

解决方案：用三角形或梯形的面积进行近似。

驱动问题2：直接用三角形或梯形的面积来近似，误差是不是太大？如何减少误差？

解决方案：把大的曲边梯形分成一个个小的曲边梯形，逐个近似再求和，且曲边函数的连续性可保证这样做的效果比直接近似更优。

驱动问题3：这样得到的值仍然为近似值，怎样消除误差？

解决方案：（此时需要提示：什么时候误差较小？怎样才能使得误差尽可能小？即误差无限接近于0。可以让学生观察曲边梯形宽时误差大还是窄时误差大得到启示。）利用极限这个数学工具进行消除误差。

这样，中心驱动问题得以解决。

驱动问题4（延伸问题）：如何计算变速直线运动的路程？

这个问题和上面的中心驱动问题一样，需要用已知（匀速直线运动）近似未知（变速直线运动），进而解决未知问题。通过前面问题的思考学生很容易把该问题解决好。

驱动问题5：上面的两个问题有什么相似之处？

一是解决过程相似：大化小、常代变、近似和、取极限。二是结论类似：均为乘积和式的极限。这两个问题：一个是几何上的问题；另一个是物理上的问题，把其过程和结论抽象出来即为一个新的数学概念——定积分。

通过层层思考，学生主动完成知识的形成过程，接下来再介绍定积分的定义时，学生就会容易理解，而不会感觉概念来的突兀，晦涩。

南开大学数学科学学院教授，首届“国家级教学名师”顾沛曾说：一个教师，如果既把教学当作职业去恪守，又把教学当作事业去热爱，还把教学当作艺术去追求，那么，境界高了，教学效果也一定会更好。他还提出了教学的3个层次：第一层次，把教学仅当作一种职业，在自己的岗位上勤勤恳恳，任劳任怨，认真备课、上课、批改作业、答疑辅导。第二层次，把教学也当作一项事业，全身心投入，孜孜以求，探索规律，努力奉献，追求成功。第三层次，把教学还当作一门艺术，贯通古今，博采众长，精心设计，不断创新，在课堂的舞台上信手拈来，左右逢源，寓教于理，寓教于情，寓教于乐，让学生在欣赏和享受中吸取广泛的营养。站在前辈的肩膀上，笔者对教学艺术的理解是帮助学生学会发现问题且利用所学解决问题的艺术。

反观现在的高校教育工作者，很大一部分教学工作者只会照本宣科，而没有自己的理解、总结和概括，让学生云里雾里；或只关注该课程内容，而忽视学习的目的和方向，以及相关知识和技能的培养，这只能算作第一层次的教学。有些教学工作者去实施第二层次教学，但由于高校科研压力之大，无暇顾及教学方法的研究，所以这部分教师也为数不多。真正能把教学当作一门艺术并成功实施的，数量很少。虽然大部分教学工作者能力，精力和经验有限，但只要有足够的热情、并且不懈地努力，就有可能向着艺术性的教学不断前进。积极探讨与实践相适应的教学方法，把学生培养成学习型人才，应该从口号变为现实，成为每一位教师都在踏踏实实做的事情。

参考文獻

[1] 国务院.国家中长期教育改革和发展纲要（2010-2020年）[M].北京：人民出版社，2015.

[2] 李大潜.关于高校数学教学改革的一些宏观思考[J].中国大学教学，2010（1）：11.

[3] 顾沛.心里装着学生把教学当作一门艺术[J].中国高等教育，2004（1）：38-39.

[4] 李伟.实施以问题作驱动、师生互动式的课堂教学培养学生用“已知”解决“未知”的能力[J].大学数学，2010，26（S1）：22-27.