例谈构造函数在导数解题中的应用

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 王琪

例谈构造函数在导数解题中的应用

☉江苏省常熟市浒浦高级中学 王琪

在近十年的高考中，导数综合解答题常常作为压轴之作.这类题由于其解答的方法灵活，没有固定的解题套路，对学生的综合能力要求较高，难度往往很大，得分率极低.所以在考试过程中导致不少学生对其“战略放弃”.因此，如何突破这一难点是教师面临的一大难题.笔者认为，在教学中，解题若能多总结和反思，把解题的过程提升到一定的理论高度，则能提高学生的解题效率和能力.笔者在通过对导数解答题的归纳分析，发现构造函数是解答一类导数综合题的一大利器.所谓构造函数，就是在解题过程中，只构造一个函数难以解决问题，甚或无法解法问题.此时，若能对问题进行等价转化，然后再构造函数，然后各个击破，最终使问题得以解决的一种方法.笔者将个人的想法整理成文，供大家参考.

一、构造函数的类型

1.构造F′（x）=［f（x）+g（x）］′型的导函数解题

例1设定义在R上的函数f（x）存在导函数f′（x），对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=x2.当x＞0时，有f′（x）＞x，则满足f（2-m）-f（m）≥2-2m的实数m的取值范围为______.

首先根据已知条件f′（x）＞x的结构特点，构造新函数g（x）=（fx）-；再由已知条件求得函数g（x）的单调性；最后将f（2-m）-f（m）≥2-2m用g（x）表示，利用函数g（x）的单调性求出m的取值范围.

解：因为f′（x）＞x，所以f′（x）-x＞0.由其结构可构造函数g（x）=（fx）-，则有当x＞0时，g′（x）=［（fx）-］′= f（′x）-x＞0，所以函数g（x）=（fx）-在（0，+∞）上为增函数.因为（fx）+（f-x）=x2，即（fx），则有g（x）+g（-x）=0，所以函数g（x）=（fx）-为奇函数，故函数g（x）=（fx）-在R上是增函数.又因为（f2-m）-（fm）≥2-2m，所以（f2-m）g（m），所以2-m≥m，即m≤1.

若已知条件是形如“f′（x）±g（x）”的代数式（或不等式）的形式，可构造新函数F（x）=f（x）±g（x）dx来求解.

2.构造F′（x）=［f（x）g（x）］′型的导函数解题

例2设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f′（x），若满足2f（x）+xf′（x）=x，且f（3）=0，则不等式f（3）＞f（2x-1）的解集为______.

首先将已知条件2f（x）+xf′（x）=x等价变形为2xf（x）+ x2f′（x）=x2，根据其结构特点可构造一个新函数F（x）= x2f（x）；再利用微积分求得函数f（x）的解析式；最后利用f（x）的单调性求出不等式f（3）＞f（2x-1）的解集.

解：因为2f（x）+xf′（x）=x，所以2xf（x）+x2f′（x）=x2.由其结构可构造函数F（x）=x2f（x），则F′（x）=［x2f（x）］′=x2，所以可设F（x）=x2f（x）=x3+c（c为常数），所以f（x）=x+.因为（f3）=0，所以c=-9，所以（fx）=x-.又因

若已知条件是形如“f′（x）g（x）+f（x）g′（x）”的代数式（或不等式）的形式，则可构造新函数F（x）=f（x）g（x）来求解.

3.

例3函数f（x）的导函数为f′（x），对∀x∈R，都有2f′（x）＞（fx）成立，若（fln4）=2，则不等式（fx）＞e的解是（）.

A.x＞ln4B.0＜x＜ln4

C.x＞1D.0＜x＜1

首先根据已知条件2f′（x）＞f（x）和所求不等式f（x）＞的结构特点，可构造一个新函数再根据已知条件求得g（x）的单调性；最后利用函数单调性定义求出不等式（fx）＞e的解.

解：由式子2f′（x）＞f（x）的结构，结合所求不等式f（x）＞e，可构造函数

若已知条件是形如“f′（x）g（x）-f（x）g′（x）”的代数式（或不等式）的形式，可构造新函数来求解.特别是当已知条件是形如“af′（x）-bf（x）”的代数式（或不等式）的形式时，可构造新函数来求解.

二、构造函数解决导数问题

构造函数解决的问题有很多，这里例举几例说明.

1.求参数的取值范围

例4已知函数f（x）=ax+ln（x-1），其中a为常数.

（1）试讨论f（x）的单调区间；

解：（1）当a≥0时，f（x）的增区间为（1，+∞）；

所以g（x）max=g（e）

此题的关键是通过对f（x）的最值的分析，可以脱去绝对值符号.然后再构造另外一个函数，通过对量词的分析后，转化为最值大小关系的比较.问题的指向相对较为清晰，因为无需作过多的变形和等价转化.

2.研究方程的根的个数

例5已知函数f（x）=n+lnx的图像在点P（m，f（m））处的切线方程为y=x，设g（x）=mx--2lnx.

（1）求m，n的值；

解析：（1）略.

设φ（x）=x2-ex+t，x∈（0，+∞），则φ（x）=（x-e）2+t-e2.

所以函数h（x），φ（x）在同一直角坐标系的大致图像如图1所示，

图1

所以①当t-e2＞，即t＞e2+时，方程无解；

②当t-e2=，即t=e2+时，方程有且只有一个根；

③当t-e2＜，即t＜e2+时，方程有两个不同的根.

本题直接构造一个函数，转化为研究函数的零点问题，显然难于使问题得到解决.因为所要构造的函数极为复杂，难于使用导数这一工具，但在化为方程= x2-2ex+t的根的个数的问题后，所需构造的两个函数便呼之欲出.

3.证明不等式

（1）求a，b；

（2）证明：f（x）＞1.

解析：（1）a=1，b=2.

综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1.

此题的困难之处在于同时含有指数、对数函数，只构造一个函数，最值难于求解.此时可考虑把式子分两端，构造双函数.除了给出的解答之外，还可以变形为，然后再构造双函数.需要特别指出的是，此题若不能证明［g（x）］min＞［h（x）］max，不能说明f（x）＞1不成立，因为所需证明的变量是同时取值，而双函数的最值未必在同一个x中取得.

总之，构造函数解决导数综合题的一大利器.这种方法尤其适用于解决具有较为复杂的函数关系式的问题，特别是既含有ex又含有lnx的综合问题.解决这类问题的关键是在于通过等价转化后，使得构造出来的两个函数的最值都较为容易求解.这就需要在解题过程中大胆变形，小心求证.在分析问题的过程中，也使学生的综合能力得到提高.