压力盾在圆弧形尖端裂缝处的减压效果

张俊彦

摘 要：裂缝减压是近年来热门的话题，从上世纪中期的理论探索，到今年来通过计算机软件ANSYS模拟化分析，裂缝学有长足的发展，而通过引进Eshelby方程使得裂缝尖端的压力逐渐量化，进一步使得如何减少尖端压力的变得有章可循，本文的通过讨论压力盾和裂缝间的相互作用效果，通过理论分析，采用线弹性破坏方法。之后，利用有限元软件ANSYS，得出压力盾的最佳位点和半径。然后通过Eshelby等效方程解释结果。

关键词：压力盾；裂缝减压；减压效果

中图分类号：TU452 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）01-0094-02

1 文献综述

应力集中是伴随着集合不连续的一个位点，例如结构中的裂缝尖端。由于裂缝尖端附近的集中应力的存在，其应力密度自然而然地增加。当集中应力超过结构的固有粘性压力时，其容易导致裂缝的拓展与结构的破坏。基于此，减少应力值是很有必要的。在众多减少集中应力值的方法中，最常见的要数“应力盾”，即通过在裂缝附近，钻孔或嵌入一个规则的几何体去改变初始应力轨迹，从而减少集中应力密度。

在1967年，E.E.GDOUTOS[1]指出随着裂缝尖端到嵌入体间的距离增大，尖端处的压力增大。E LIPETZKY and Z.KNESL[2]在1993年量化了嵌入体中心到裂缝尖端的距离与压力密度因子间的关系。他们假设裂缝长度保持恒定和不同类型嵌入体面积相等。变量是裂缝尖端到嵌入体中心的距离（d）。当弹性模量EI/Eo>1，随着距离（d），的增加，ΔK/KH有一个单调递减的过程。当d/a<1时，颗粒对于裂缝尖端附近的压力密度因子Ktip（SIF）有重要影响。其中a为裂缝长度，ΔK为Ktip-KH。

后来有人发现在嵌入体弹性模量EI和母体材料Em不同质时，随着EI/Em的增大，Ktip/Ko的值迅速减小。在2004年，李中华，陈强等人用Eshelby方程解释两个椭圆嵌入体间关系。根据李和陈的对Eshelby方程的调整，他们给出两个椭圆型嵌入体相互的Ktip的影响。

其中r代表从裂缝尖端中心到嵌入体几何中心

θ代表裂缝主轴到嵌入体中心的角度

A代表嵌入体的面积；C1和C2为常数

α1=Ei/Em

但是之前的研究者[1-4]只考虑了裂缝是条直线，而忽略了裂缝形状对应力盾效果的影响本文探讨的是对于圆弧形孔槽裂缝，圆形孔洞对其尖端的影响。为了发现准確的圆形孔洞的尺寸和到裂缝尖端的距离与Ktip的关系，本文进行了有限元数据模拟。之后利用Eshelby等效方程理论解释了圆形空心孔洞对圆弧形裂缝尖端SIF影响。

2 方法论述

本文的材料选用屈服强度是250Mpa的钢铁，伯松比是0.3，弹性模量为210000Mpa。嵌入体为两个空心圆洞，其弹性模量为0，和一条长度为a的裂缝。为了减少形状引起的误差，其模型选用沿裂缝对称结构。模型由两个洞，一条裂缝和一个有限平面组成。因为它是对称结构，在ANSYS Workbench软件里，只去一半结构。Y是从裂缝主轴到圆洞底端的距离。X是圆洞中心到裂缝纵轴的距离，d是圆洞的直径。对于椭圆型裂缝模型，a的长度是裂缝长度的一半，e是裂缝短轴的长度。w和h分别代表有限的钢板的宽度和高度。参数P是单位拉力。对于圆型尖端裂缝W/2=50mm， h/2=30mm，a=20mm，e/2=1mm。

采用的方法是线弹性破坏方式，简称LEFM。其受力模型是仅仅单一方向的拉力。拉力的大小是单位荷载1Mp，这样其大小是无法使研究材料产生塑性变形。

首先假设圆洞的直径和到裂缝X轴的距离保持固定，嵌体的圆心的位置从上移动到下平行于X轴。之后圆洞的直径和其裂缝Y轴的距离保持固定，嵌入体的圆心位置从左移动到右平行于Y轴。第三，圆心固定在特定的位置上，改变圆的直径，探索圆洞与裂缝尖端压力密度的关系。

因为这个有限元的数量对SIF的值有直接影响，因此为ANSYS模拟结果反映裂缝延长的真实值，有限元应该取个对结果无影响的值。对于裂缝，随着有限元数量的上升，这个压力密度因子SIF接近于恒定值。而在有限元模拟时，尽可能使得每个微元体相同。裂缝尖端附近应力在单一轴向压力情况下：

KI为SIF在裂缝尖端的值

r为平面一点到裂缝尖端的距离

当θ=0，cos（θ/2） 等于1，sin（θ/2）sin（3θ/2）+1等于 1，原式子等于

为了计算出KI，式子转化为log函数形式

在线性拉力破坏理论指导下，接近于裂缝尖端，对于线性裂缝会存在人为的奇异性singularity，以至于升Ko的值。然而对于圆形裂缝尖端就不会出现。为了避免奇异性出现，选取圆形裂缝尖端，同时采用Ktip/Ko形式，其中Ktip为带有圆型孔槽的裂缝处SIF值，Ko为无孔槽的SIF值。

E Lipetzky指出当圆形孔洞的位置离裂缝尖端的距离小于内含裂缝一半长度a时，形状效应（shape effect）会增加Ktip/Ko的值。而本文的目的是确定出合适的圆洞位置和尺寸去减小Ktip值。当这个距离太近时，会产生一个塑性形变，在洞的边缘到裂缝处。另外当圆形孔洞的圆心处于裂缝的右侧时，其无论移动到何处，都会增加Ktip的值。因此，根据有限元的模拟情况和前人的探索，圆形孔洞的位置离裂缝尖端距离应该取合适值。

3 计算与分析

通过X-Y坐标系转化成θ-r坐标系，坐标原点从裂缝中心移动到裂缝尖端处，则任何一点在（x，y）中，被表示成（20+rcos θ，rsin θ）假设当圆洞半径为5mm时，r数值范围为8mm-15mm，θ取值范围0-180°。

在裂缝长度a=20mm时，根据Eshelby方程

在本文中Ei等于0，因此α1=Ei/Em

进一步计算得到C1=1，C2=1.5

所以等式可以化簡为

当嵌入体为圆形时，方程为

r代表孔洞圆心到裂缝端点的距离R代表圆洞的半径

θ代表孔洞圆心与裂缝端点连线和水平轴夹角

FE表示用ANSYS计算出的值，EQ表示Eshelby方程的计算值。

在图3中，当圆形孔洞的半径恒定（R=5mm），同时孔洞圆心到裂缝端点的距离r=10mm时，夹角θ和Ktip/Ko的关系。首先，可以看出使用Eshelby方程的计算值与ANSYS模拟出的值大概相似。误差率值小于3%。但个别ANSYS模拟出点没有落在Eshelby方程的计算的曲线上。可能因为模拟时，产生没有估计到的形变引起的。其次，随着θ角度的增加，Ktip/Ko的值先是逐渐减小到最低0.74，然后有逐渐上升到0.95。在θ处于0-60°时，Ktip/Ko减小的幅度不明显，60°之后，就有显著降幅，并且当角度为120°左右时Ktip/Ko达到最小值（0.74）。当θ=150度，孔洞的边缘与裂缝相切，发生裂缝通过ANSYS模拟，发生奇异性突变。但方程式仍旧可以计算出Ktip/Ko的值。此时的计算值在实际情况是不存在的。

当这个圆形孔洞的半径是5mm时，θ=90°，Ktip/Ko的值与r的关系。可以发现，在没有大的形变的情况下，圆洞离圆形孔槽距离越近，减小Ktip的效果越明显其次，通过计算得出Eshelby方程和有限元模拟出来的Ktip/Ko值相似.但是当r<8mm时，由于圆孔边缘与裂缝过于接近，容易造成奇异形变，所以r的最小值取8mm。并且r=8mm时，Ktip/Ko的值为最小（0.805）。随着r的增大，Ktip/Ko的值逐渐增大。最后当r>16mm时，Ktip/Ko的值趋于1.说明圆孔对裂缝已经基本没有影响。

4 结语

通过ANSYS的模拟分析和Eshelby方程的理论计算，说明Eshelby方程可以应用于裂缝减压结构的设计计算里。通过对θ和r和Ktip/Ko的值研究，发现在不引起塑性形变的基础上，离裂缝越近效果越好，而且当θ=120°时，处于圆形孔洞的减压效果最佳。但没有经过实际物体实验的考证，当压力盾过于接近裂缝时，很容易打穿裂缝，或者在加压过程中直接断裂。因此仅仅讨论到压力盾还有待进一步的确认。

参考文献：

[1]E.E.GDOUTOS， INTERACTION EFFECTS BETWEEN A CRACK AND A CIRCULAR INCLUSION ，Fibre Science and Technology173-18，Chair of Applied Mechanics， Democritus University of Thrace， Xanthi51967.

[2]Lihong Yang， Qiang Chen， Zhonghua Li，Crack–inclusion interaction for mode II crack analyzed by Eshelby equivalent inclusion method， Engineering Fracture Mechanics 71 1421-1433，Shanghai Jiaotong University，2004.