基于偏微分方程的含噪图像复原新模型

王 俊 杨成龙

(1.陆军军官学院基础部 合肥 230031)(2.陆军军官学院研究生管理大队 合肥 230031)

基于偏微分方程的含噪图像复原新模型

王 俊1杨成龙2

(1.陆军军官学院基础部 合肥 230031)(2.陆军军官学院研究生管理大队 合肥 230031)

针对现有的用于图像复原的全变分和四阶偏微分方程模型存在的不足,提出一种图像复原新模型。新模型的思想是将全变分和四阶偏微分方程模型相结合,同时通过修改方程中的一个扩散项的系数,来达到增强去噪效果的目的。新模型弥补了经典图像复原方法的不足,既保护了图像边缘,又抑制了“阶梯效应”,且具有较高的信噪比。理论分析和MATLAB仿真结果表明,经过新模型复原的图像质量较高,具有良好的视觉效果,充分体现了新模型在图像复原上的有效性。

偏微分方程; 图像复原; 扩散项系数; MATLAB

Class Number TN911.73

1 引言

图像在形成、传输和记录过程中,受多种因素的影响,图像的质量都会有所下降,典型表现有图像模糊、失真、有噪声等。这一质量下降的过程称为图像的退化,图像复原的目的就是尽可能恢复退化图像的本来面目。

传统的图像复原方法虽然具有较好的平滑效果,但处理后的图像会出现边缘和纹理特征丢失的现象,即图像变得模糊[1]。

近年来,基于偏微分方程图像复原方法因其良好的复原效果而受到国内外学者的广泛关注。典型代表有P-M模型[2]、全变分[3](Total Variation,TV)模型、四阶偏微分方程(PDE)模型[4]等。其中TV模型去噪较为彻底且具有较强的边缘保护能力,但是在处理图像平坦区域时会产生“块状效应”。四阶PDE模型能够保护图像平滑区域,抑制阶梯效应,不足是边缘保护能力差且对椒盐噪声无能为力。文献[6]将TV模型与四阶PDE模型结合,得到一个图像去噪综合模型。该模型兼具TV模型与四阶PDE模型的优点,具有较强的去噪能力,但收敛速度慢,去噪效率低。

针对以上问题,本文通过修改文献[6]中去噪模型所对应偏微分方程的一个扩散项的系数,得到了一个图像复原新模型,并从主观和客观两方面对该模型进行了评价,数值结果表明新模型的图像复原效果明显优于以往的方法[5]。

2 新模型的建立

图像被噪声污染是一个退化过程。设u为观测到的图像,u0为原始图像,u=u0+n,其中n为噪声。Ω为R2中的有界开子集,定义u的整体变分为

(1)

有界变差函数空间为

BV(Ω)={u|u∈L1(Ω) andTV(u)<∞}

(2)

徐书方[6]等将图像的能量函数取为

(3)

然后通过最小化全变分及梯度下降法得到综合模型:

(4)

(5)

这样替换的好处是:多引入两个u的混合偏导后能够对图像进行更全面定位,达到增强去噪能力的目的。

3 新模型的求解

本文利用有限差分法对新模型进行求解,首先离散化空间步长h,时间步长Δt,用二阶中心差商代替二阶微商,对其中的微分算子应用差分法,得到:

(6)

(7)

引入空间离散符号,则:

(8)

(9)

(10)

最后得到新模型的差分格式:

(11)

4 实验结果与分析

常用的图像复原客观评价标准是峰值信噪比:

(12)

以大小为256×256像素的Lena图像为例,将本文算法与全变分模型、四阶PDE模型和文献[6]中的模型进行比较实验。其中,所加噪声为方差0.01的高斯噪声,迭代次数n=60,空间步长h=1,时间步长Δt=0.1,参数k=2。图1为几种模型的去噪效果对比图。

图1 不同模型去噪效果对比

从图1可知,本文模型去噪效果明显优于TV模型、四阶PDE模型和文献[6]中的模型。表1为几种模型对应的峰值信噪比。

表1 不同去噪方法的峰值信噪比

从表1可知,本文模型对应的峰值信噪比最大,说明去噪效果最好。

表2是本文模型在不同步长和迭代次数下的峰值信噪比。

表2 不同步长和迭代次数下本文模型峰值信噪比

从表2可知,当步长h=1,迭代次数N=60时,本文模型去噪效果最好。

为了更好地验证新模型保持图像边缘细节的能力,采用Canny边缘提取算子对处理结果进行边缘提取,实验结果如图2所示。

图2 对应图1去噪结果的边缘提取图

从图2可知,利用文献[6]中模型去噪后图像的边缘细节损失较为严重,而本文模型却很好地保留了图像的边缘特性,如帽子边缘的羽毛,人物脸型的轮廓等。

5 结语

本文分析了TV模型和四阶PDE模型在图像去噪方面的优缺点,并将文献[6]中模型的一个扩散项系数进行了修改,得到了一个图像去噪新模型。从MATLAB仿真实验结果看,新模型既抑制了“阶梯效应”,又保护了图像的边缘细节特征[9],同时还具有较高的峰值信噪比,所以本文模型是一个较好的图像去噪模型。

[1] 崔学英.用于图像复原的二阶与四阶结合的偏微分方程滤波[J].中北大学学报,2013,34(2):183-187.

[2] PERONA P, MALIK J. Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine intelligence,1990,12(7):629-639.

[3] RUDIN L, OSHER S, FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]. Physica D,1992,60(1/4):259-268.

[4] YOU YU-LI, KAVEHM. Four-order partial differential equations for noise removal[J]. IEEE Transactions on image Processing,2000,9(10):1723-1729.

[5] 郭茂银,田有先.改进的LIP偏微分方程图像去噪方法[J].计算机应用,2011,31(2):383-386.

[6] 徐书方,刘婧,沈立新.一种基于偏微分方程的图像处理[J].大连海事大学学报,2010,36(4):107-110.

[7] M. R. Hajiaboli. An Anisotropic Fourth-order diffusion Filter for Image Noise Removal[J]. International Journal of Computer Vision,2011,92(2):177-181.

[8] 杜宏伟.基于偏微分方程的图像去噪综合模型[J].计算机工程与应用,2008,44(20):198-201.

[9] 姜礼尚.数学物理方程讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996:22-25.

A New Image Restoration Model Based on Partial Differential Equation

WANG Jun1YANG Chenglong2

(1. Department of Basic, Army Officer Academy, Hefei 230031) (2. Graduate Management Team, Army Officer Academy, Hefei 230031)

Aiming at the shortcomings of the existing total variation and fourth order partial differential equation (PDE) image restoration model, a new image restoration model is put forward. The ideal of the new model is to combine the two models, at the same time, by modifying a diffusion coefficient of the equation, to achieve the enhancement purpose to the effect of image denoising. The new model not only makes the image edge details be protected and the “ladder effect” be restrained, but also has high signal-to-noise ratio. Theoretical analysis and MATLAB simulation results show that the recovery image quality is higher after the new model dispose, and also have a good visual effect, fully embodying the effectiveness of the new model on image restoration.

partial differential equation(PDE), image restoration, the diffusion coefficient, MATLAB

2016年8月3日,

2016年9月17日

国家“973”重大专项“磁约束聚变堆内部件关键技术问题研究”(编号:2013GB113000);长脉冲H模的实现及相关机理研究(编号:2014GB106000)资助。

王俊,男,博士,副教授,研究方向:偏微分方程及其数值解法等。杨成龙,男,硕士研究生,研究方向:偏微分方程图像处理。

TN911.73

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.02.023