聚焦建构途径 深化模型思想

吴秋妹

一、取材生活，唤醒储备

《义务教育数学课程标准（2011）》指出数学建模应以学生已有的生活经验为起点，经历从生活情境中提炼出一个比较清晰的数学问题这一过程。依据建模的方向，我们可以设计一些贴近学生生活实际，并能快速激活已有生活经验的情境来切入。通过取材生活这一建构途径，不仅有助于激发学生学习数学的兴趣，还能快速唤起学生已有的知识储备。

【教学片段1】

师：最近，老师在练习写毛笔字，请你们帮老师选一选——哪一句诗的书写你比较欣赏？为什么？

生：第四句，因为书写时，每两个字之间的书写距离相等！比较美观！

师：字与字之间的距离，我们把它叫作间距。那么第四句诗有几个这样的间距？

生：4个！

师：我们就说它的间隔数是4。（板书）“只有敬亭山”有多少个字？间隔数是多少？看来啊，5个字，4个间距长度要一样的才美观！谢谢你们！

模型准备阶段，选取的建模题材，要注意贴近学生生活实际，为“提炼”做准备。并且要有一定的开放性。经历提炼问题的过程，进一步深入研究，让学生产生建模的需要。上述片段通过学生比较诗句书法的过程，无形中渗透了间距、间隔数等相关知识，为模型的建立做前期准备。

二、化繁为简，初始模型

化繁为简是指将复杂问题看成简单的问题，在简单的问题中探究发现规律，再运用发现的规律去解决复杂的问题。给予学生化繁为简的探究意识，比单纯告知他们应该怎么研究更有效。“植树问题”教材给定的素材是“总长100米的小路”，那么在建立“两端都要栽”的数学模型时，大数据是不方便展开探究的，笔者尝试通过化繁为简来建构初始模型，方便学生进一步探究。

【教学片段2】

1. 设疑：为了美化环境，校长想在学校操场边植树。有一条100米长的小路，计划在小路的一边栽树，一共需要多少棵树苗？（出示主题图）

①从题目中你了解到哪些信息？②什么是两端都要栽？什么是一边栽树？③要解决这个问题，你们觉得还需要什么条件？④每隔5米栽一棵是什么意思？

2. 猜测：学校一共要准备多少棵树苗？

①怎样检验这个结果是否正确？

预设：可以通过画一画的方法来验证！（课件展示如何画，规范画法）

②100米有点长，画起来比较麻烦！有没有什么好的研究策略？

课件出示——研究策略：复杂问题→简单问题→发现规律→解决问题。

师：这个策略叫作化繁为简！（板书）

③根据这个研究策略，你想怎么研究这道题？

预设：我们先在10、20、30米的路上栽一栽，看看有没有什么发现！

④现在让我们运用这个策略，一起来研究！

设计此环节时，笔者先通过演示线段图：在100米的小路一边植树，让学生感受到100米太长了，促使其交流研究策略，明确“复杂问题→简单问题→发现规律→解决问题”这一建构途径。随之介绍化繁为简的数学思想。然后追问学生：“通过这种途径，你想怎么解决这道植树问题？”学生很自然地想到将100米缩短研究。

三、数形结合，明晰模型

数学模型的建构是由形象到抽象，由直观到理性提炼简化的过程。教学中如能打通数与形之间的通道，以形表模、以模辅形，相辅相成，将有助于学生明晰数学模型。因此数形结合未尝不是一条良好的建构途径。下文教学片段3通过数形结合这一建构途径，让学生合理分配間距、间隔数与棵数，无形中渗透了总长、间距、间隔数这三者之间的关系。最后通过引导学生有序观察、比较：①总长、间距、间隔数三者之间的关系；②棵数与间隔数之间的关系，从而发现其中隐藏的规律，建立起两端都要栽的数学模型。

【教学片段3】

活动一：填一填

100米太长了，先试一试10米、20米、30米……看看有什么发现！

两端都要载

观察表格：

①总长、间距、间隔数，三者有什么关系？

②树的棵数与间隔数有什么关系？

从学生的思维特点看，五年级学生仍以具象思维为主、抽象思维为辅，有一定的抽象概括、归类梳理的学习经验。新版教材将“植树问题”从四年级下册调整至五年级上册，也反映出该知识点具有很高的数学思维含量与较深的探究空间。这就需要执教者为学生制订操作性比较强的学习方案。通过数形结合这一建构途径，让他们自主探究，明晰数学模型。

四、举例模仿，深化模型

模仿并不是盲目地模仿，不能只停留在知识层面上的模仿，而应在更高阶的层面——方法、结构与思想上去模仿。通过举例模仿这一建构途径，进行自主建构变式模型。如教学“两端都不栽”时，笔者认为基于前面“两端都要栽”的探究，学生已经积累了一定的建模经验，这时可以放手让他们依据刚才的建模方法，也采用化繁为简的学习策略，自定总长进行研究，自主建构“两端都不栽”的数学模型。

【教学片段4】

活动二：举例模仿

两端都不栽

观察表格：

①你举的数据是什么？

②你发现了什么规律？

探究前，教师得先帮助学生梳理“两端都要栽”的建模方法与步骤，再放手让他们根据这些建模方法、步骤，通过举例模仿这一建构途径，自主建构“两端都不栽”的数学模型。给予学生必要的帮助，将学习的主动权交给学生。最后通过辨析两种模型的异同点，进一步深化植树问题的两种模型。

五、联系生活，拓展模型

《课程标准》指出数学建模活动要密切联系现实生活，凸显数学的应用价值。模型应用中，不能让学生只停留在简单套用模型的横向层面，而应进一步纵向深化、内化模型，加深学生对数学模型的理解。设计的练习应有变式、有层次，并且要多联系生活实际。让学生感知数学来源于生活，也应用于生活。在师生共同建立“两端都要栽”的模型后，即可让学生解决教材主题图中的问题：“一条100米长的小路，计划在小路的一边栽树，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？”而在建立起“两端都不栽”的数学模型后可完成练习“学校新、旧两栋教学楼之间的一条小路距离300米，校长计划在小路的两边栽树，每隔10米栽一棵，一共需要多少棵树苗？”在建立起“只栽一端”的模型后可完成练习：①厦门brt快3线，从火车站到洪文站一共有6个站，平均两个站之间的距离是3千米，从火车站到洪文站大约多少千米？②想一想，在生活中，你还见过与“植树问题”相似的问题吗？通过及时巩固、变式练习、拓展应用等注入生活元素的练习，达到联系生活，拓展模型的目的。

数学建模是一个交互的、层层递进的过程。在推进的过程中，教师要明晰各阶段学生建模的受阻点，确立教师的帮扶点。聚焦模型建构的几个有效途径，策划有效的建构方案，才能让学生在自主建构数学模型的同时，体验到建模过程所带来的乐趣，保持对数学知识的向往。

（责任编辑：王彬）