分类讨论思想在两个计数原理中的应用

■重庆市铁路中学校 何成宝

分类讨论思想在两个计数原理中的应用

■重庆市铁路中学校 何成宝

分类加法计数原理与分步乘法计数原理,它们的区别在于:分类加法计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成。从思想方法的角度看,分类加法计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考,分步乘法计数原理是将问题进行“分步”思考。无论是“分类”还是“分步”,都要涉及分类讨论思想的应用。下面对两个计数原理中的分类讨论思想的应用进行归纳,供同学们学习参考。

类型一、分类计数原理的应用

某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有( )。

A.4种 B.10种

C.18种 D.20种

思路点拨:应用分类加法计数原理,首先根据问题的特点,确定分类的标准,分类应满足:完成一件事的任何一种方法,必属于某一类且仅属于这一类。本题要注意画册相同,集邮册相同,这是重复元素,不能简单按照排列知识来求,所以要分类进行求解。

解本题分两步进行:第一步先选出2人选修课程甲,第二步再把剩余2人分别从乙、丙2门课程中选修1门。

类型二、分步计数原理的应用

4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )。

A.12种 B.24种

C.30种 D.36种

思路点拨:“分步”是乘法原理的标志。要注意在同一类中合理分步的几个原则:分步标准必须一致;分步要做到步骤关联,步骤

类型三、两个原理的综合应用

从1到20这20个正整数中,每次取出3个,问:它们可以组成多少组不同的等差数列?

思路点拨:本题是一道计数原理与等差数列的综合题,能构成等差数列的三个数有很多,到底如何取这三个数才能准确地、不重不漏地找出所有能构成的等差数列是本题的难点。

解析:依题意,要使这三个数成等差数列,公差d的取值可以为±1,±2,…,±9,因此分18类。

当d=±1时,可以组成36组不同的等差数列;

当d=±2时,可以组成32组不同的等差数列;

……

当d=±9时,可以组成4组不同的等差数列。

根据分类加法计数原理知,共有36+32 +28+…+8+4=180(组)不同的等差数列。

按照公差的大小来分类能使取出的三个数不重不漏,那么每一类型有多少个三位数?比如,当等差数列的公差为1时,能构成等差数列的三个数为123;234;345;…;1819 20,查个数时,看每组数的第一个数,因此共18个等差数列。

(责任编辑 徐利杰)