理论光学教学中标量和矢量成像理论的比较

耿滔+贾宏志

摘要：为了探讨光学理论课程中标量理论的适用范围，以及超出标量理论范围后该如何处理等问题，本文使用菲涅尔衍射和透镜相位变化的标量成像理论与基于德拜近似的平面波角谱展开法的矢量成像理论做了比较。结果发现菲涅尔衍射的精度要求在实际使用中过于苛刻，当数值孔径小于0.4时，标量理论能获得精度很高的结果。

关键词：标量衍射理论；矢量衍射理论；成像理论

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）02-0190-02

成像系统的探讨无疑是光学教学中的重点之一，这一问题贯穿于几何光学、物理光学、矩阵光学以及傅里叶光学等课程的教授中。目前，教材中的波动光学成像理论通常都是使用基于傍轴近似的菲涅尔衍射理论加理想薄透镜的相位变换公式来分析成像系统，但对于这一方法的适用范围却鲜有探讨，同时对后续适用于紧聚焦系统的矢量衍射内容也不涉及。其实为了激发学生的学习热情，并拓宽他们的知识面，任课教师可以在课时允许的条件下，在课堂教学中对这些问题给出适当的解释和说明。鉴于此，本文将对上述问题做一些有益的探讨。

一、标量和矢量衍射理论

二、结果讨论

计算时我们以氦氖激光为入射光源，波长λ=632.8nm，透镜的通光孔径半径为1mm。图1（a）给出了NA=0.01使，两种算法给出的焦平面上x轴的总光强分布。可以预料，在小数值孔径下，系统满足傍轴近似条件，因此标量理论和矢量理论的结果吻合得很好。在这里需要指出的是，即使在小数值孔径下电场的纵向分量也不为零，其纵向分量光强分布如图1（b）所示，但其大小只有横向光强的约十万分之一，可忽略不计。另外从图1（a）中我们还可以看到主光强峰边上的旁瓣，这说明此时聚焦平面光束并不是如几何光学一样聚焦在一点上，而实际上是孔径函数的夫琅禾费衍射图样。

图2（a）和（b）分别给出了NA=0.4和NA=0.5时，两种算法给出的焦平面上x轴的总光强分布。从图中可以看到，随着透镜数值孔径的增大，标量理论和矢量理论的计算结果吻合程度越来越差，标量理论计算的焦斑尺寸逐渐小于矢量理论的计算结果，当 NA=0.4时可以观察到两者明显的差异。这说明随着数值孔径的增加，标量理论逐渐对光场的衍射效应估计不足，导致焦斑偏小。另一方面，随着数值孔径的增加，焦斑光场的矢量性也逐渐凸显，纵向分量所占的比重逐渐增加，当数值孔径增大到0.9时，纵向分量占到总光强的约10%，此时纵向分量不能再被忽略不计。

从本文的比较结果来看，当NA≤0.4时，我们认为标量理论与矢量理论吻合得很好，在这些情况下使用标量理论就足够了，不需要使用复杂的矢量理论。那么对于本文计算的情况，即波长λ=632.8nm，透镜的通光孔径半径为1mm时，此时衍射距离z满足z≤4.6cm。另一方面，我们知道菲涅尔近似的精度是由在二项式展开中丢弃高于一次项的各项所引入的误差决定的，那么对于本文计算的情况，要求衍射距离z必须z？垌4.3cm。与上述只需要z≤4.6cm的结果比较，我们可以发现菲涅尔近似的条件过于严格，事实上在短得多的距离上菲涅尔衍射就可以获得精度很高的结果。

三、小结

本文通过比较标量成像理论和矢量成像理论的计算结果，发现当透镜的数值孔径满足NA≤0.4时，标量理论可以适用，否则就要使用矢量理论，且菲涅尔近似的精度要求过于苛刻，衍射距离在短得多的距离上菲涅尔衍射也能获得很好的结果。这些结果可以用于光学理论课程的教学当中，不仅可为学生解惑，还可进一步拓展学生的知识面，为后续课程打下基础。

参考文献：

[1]陈家璧，苏显渝，朱伟利，孙雨南，陶世荃，吴建宏.光学信息技术原理及应用[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]波恩，沃耳夫.光学原理（上册）[M].北京：电子工业出版社，2007.

Comparison between Scalar Theory and Vector Theory for Imaging System in Optics Course

GENG Tao，JIA Hong-zhi

（School of Optical-Electrical and Computer Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：There are two purposes for this paper. The first is to let the students know the application scope of scalar diffraction theory for imaging system. The second is to introduce the students to the vector diffraction theory. In this paper，both scalar diffraction theory （the Fresnel diffraction） and vector theory （based on Debye approximation） are used to discussed the same imaging system. The results show that when the numerical aperture is less than 0.4，the scalar diffraction theory can be used well.

Key words：scalar diffraction theory；vector diffraction theory；imaging theory