基于学生核心素养发展的函数教学*——以指数函数为例

☉江苏省苏州实验中学 章祥俊

基于学生核心素养发展的函数教学*
——以指数函数为例

☉江苏省苏州实验中学 章祥俊

数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一领域时所应达成的综合性能力，它是学生在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性的一种素养.《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出了数感、符号意识等10个核心词，基于当下的理解，这些核心词也可以理解为核心素养，而即将颁布的高中数学新课标则明确了数学核心素养的内容为数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.发展学生的核心素养是高中教学的主要任务，本文拟从指数函数为例谈谈在函数教学中如何实现这一目标，希望能给您带来启示.

一、创设适合问题情境，培养学生的抽象和建模能力

数学的学习就是教师提供问题情境，学生思考、交流、解决问题，这是一个培养学生的数学抽象和数学建模的过程.以指数函数教学为例，学生在知道了1.52.5、1.55.2、0.54.2这些“新”的数之后，教师提出问题：这些数的大小如何比较？这些数与我们的生活有什么关系？1.52.5、1.55.2这样的数也可以像偶数可以统一表示为“2k，k∈Z”那样表示为某种形式吗？学生带着这些问题，经过自己探索与其他同学的交流，总结归纳出形如y=1.5x的函数形式也就水到渠成了，这就是培养学生数学归纳、数学抽象的一个过程.教师继续提出要求：请学生用数学语言给这种新函数下个定义.根据以往积累的学习经验，学生依托于模型思想展开了数学思维活动，自主建构概念过程也就自然地展开了.通过这个描述与矫正的过程经历，学生并不顺利地抽象出了指数函数的定义，基于这一过程的知识与经验积淀形成了给函数下定义的基本套路，为下一步对对数函数、幂函数等新函数的学习铺平了道路.

二、经历完整探究过程，发展学生的推理和想象能力

学生核心素养的发展，创设适合其认知需求的情境是起点，而让他们经历完整的探究过程，才是关键.在我们的教学活动中，教师应放手让学生探究，让他们经历完整的数学思维活动过程，以期培养学生的逻辑推理能力和直观想象能力.指数函数这一节内容的学习，最重要的不在于学生掌握指数函数的定义、性质等内容，而在于使学生掌握了研究函数的范式，学生按照教师的课堂设计感悟研究函数的一般流程：解读背景——抽象定义——建构图像——剖析性质——验证应用.这样的探究历程使学生除了能获取函数知识，还能发展逻辑推理能力和数学想象能力.在学生的指数函数学习过程中，当他们自主定义指数函数后，笔者进行了追问：如何画出指数函数的图像？这又让学生经历一个思维和优化的过程：y=ax（a＞0，a≠1） 的图像——y=1.5x的图像——y=2x，y=3x的图像——y=ax（a＞0，a≠1）的图像，这个从一般到特殊，再从特殊到一般的研究过程就是培养学生推理、建模能力的过程.如果上述研究过程是教师告知并指导学生，那么其学习过程是被动的，思维是肤浅的，探索、交流等活动是表面化的，将来遇到新的问题，学生依然会无从下手，再多的知识与能力都无法应用到问题的解决中去.因此，教学过程中，我们决不能将关注点只放在知识之上，而应引导学生自己寻找问题解决的方向，在摸索前行中获得一般方法，通过自主概括、自主提炼、自主解答实现知难共进……这才是本节课的重中之重.课上，教师借助多媒体平台动画展示了y=2x，y=3x等指数函数的图像，基于学生的仔细观察之上教师提问：如何探究指数函数的性质？引导学生通过观察、类比、联想等探究活动，以期培养学生的归纳推理能力、直观想象能力.学生在归纳出函数的部分性质后，教师提问：如何验证或证明这些性质？比如验证指数函数的图像一定经过定点（1，0），这个过程是重要且必须的，它对培养学生的数据分析观念、严谨的逻辑思维能力将产生持久甚至终生的影响.通过这些教学活动的设计，学生尝试获得“寻找”一般的科学研究方法，对其后续的学习与生活无疑是很有意义的.

三、强化基本性质理解，培养学生的运算能力和数据分析能力

基于上述完整探究过程的经历，学生很快得到指数函数的定义、图像及部分性质.接下来，教师让学生探索：指数函数的图像、性质有什么关系？指数函数y=ax（a＞0，a≠1）还有哪些未被发现的“神奇”性质？y=2x与y=x2的图像、性质有什么关系？只要教师给学生充足的思考空间和时间，他们就一定会主动地、创造性地发现、思考、研究、发展数学，能使得数学的学习变“单回路学习”模式为“双回路学习”模式.在此过程中，因为有了较为充裕的对性质的探索与理解的时间，学生可以从性质的简单应用入手，进行运算推理，通过反复演算来证明自己的发现.这种基于性质之上的推理论证，很好地培养了学生的运算能力和数据分析能力，对达成数学核心素养发展的教学目标是非常有利的.所以，我们应通过恰当的教学活动设计，为学生的活动搭建较为合适的“平台”，关键节点上不省事，让学生在探索、交流、反思等活动中积累数学学习的经验，提升分析处理能力.

四、传承数学历史文化，培养学生“人文与审美”的核心素养

北师大林崇德教授指出，我们的教育教学应“培养以数学与逻辑、人文与审美为核心素养的全面发展的人”.很久以来，我们总是自觉或不自觉地将充满逻辑之美、理性之美、最具人文精神的数学文化的课堂教学指向了枯燥乏味的知识与解题.过分注重学生对数学知识的掌握，而数学教学中人的价值、情感、审美并没有得到应有的尊重，承载着人文精神的数学教学高度工具化，培养能力、移情悦性、陶冶情操似乎只是一种遥远的假设.所以说，培养学生对数学文化的理解，我们必须传承数学所承载的人文精神，关注学生的道德理想、审美情感，培养他们悟善和审美的能力.数学史学家M·克莱因认为，数学文化是指人类在数学行为活动的过程中所创造的物质产品和精神产品.物质产品是指数学知识、数学语言等知识性成分，而精神产品是数学精神、数学美等观念性成分.对此，笔者高度赞同，笔者认为数学教育不仅仅是知识的传授与能力的培养，更是一种文化、精神的传播，数学课堂中的探索、交流、反思应充分发掘数学文化内涵，对学生进行数学文化教育，发展学生应用意识，从而不断激发学生的学习兴趣，坚定学好数学的信心，帮助学生形成正确的数学观.通过学习一次函数、二次函数等版块的知识，学生在已经获得了学习函数的一般方法，感受到了变量间美妙的联系和图像的曼妙灵动，进入高中后，适宜的情境将会激活学生对实数与指数形式的实数所对应的指数函数产生强烈的探索欲望：他们很想弄明白指数函数形成的背景，定义产生的过程，它对我们的数学生活将产生什么样的影响，价值何在？指数函数的学习是初高中函数学习的纽带，承上启下，承上说得是对前面获得函数知识与经验的应用，启下说得是指数函数的学习将会为后面研究对数函数、幂函数等提供知识、经验、方法.所以，我们可以让学生感受“指数式爆炸”带来数的增大（或减小）速度，明白“半衰期”在医药、考古中重要的“模型应用”地位，感受到数学与生活是那么的亲密无间.

数学课堂的活动设计，归根结底是老师通过问题的提出激发学生探索新知的渴望，是老师和学生之间数学思想、数学精神、数学美的一种交流，是老师和学生对数学永不停息的思考，是数学素养“润物细无声”的传承.每一节数学课堂中探索、交流、反思等活动经验的积累，就是一个培养学生数学素养的过程.

1.马云鹏.关于数学核心素养的几个问题［J］.课程、教材、教法，2015（9）.

2.渠东剑.指数函数教学教什么［J］.数学通报，2012（3）.

3.［英］维克托·迈尔—舍恩伯格.与大数据同行［M］.上海：华东师范大学出版社，2015.

*本文为江苏省教育科学 “十三五”规划重点资助课题 “基于核心素养的普通高中学校课程优化统整的研究”（课题编号：2016-GH01011-00514）的研究成果，本文作者为该课题核心组成员.